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零点定理

## 5.2 区间上连续函数的基本性质
上一节中给出的连续函数的局部性质都可以从连续性定义直接导出，因此可以说都是重要的平凡性质。这一节要介绍的是连续函数的比较深刻的重要性质，它们与所考察函数的整个定义域有关，因此称为整体性质，或大范围性质。这里可以事先指出，在某种意义上说，连续函数的整体性质是由定义区间决定的。

函数的这种整体性质实际上已经出现过．最常见的就是在一个区间上定义的函数的有界性（参见 §3．3．3）。例如，考虑在区间 $(0,1]$ 上定义的函数

$$
f(x)=\frac{1}{x}
$$

它在每一点 $x_0 \in(0,1]$ 处连续，因此 $\exists \delta>0, \exists M>0, \forall x \in O_\delta\left(x_0\right):\left|\frac{1}{x}\right| \leqslant M$ ．然而这个函数在 $(0,1]$ 上显然是无界的．还可以看到，对每个正数 $\delta \in(0,1)$ ， $f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $[\delta, 1]$ 上总是有界的，即有 $0<\frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{\delta}$ ．可见，说一个函数有界时，必须说明是在什么区间上考虑，而且不能从函数在每个点邻近的局部有界性无条件地推出函数在一个区间上有界的结论。这是整体性质所共有的特征。

下面我们逐个介绍区间上连续函数的几个重要性质。它们往往具有明显的几何意义，但其证明却涉及到实数系的连续性，其中都需要用到某个实数系基本定理。这也提供了学习如何应用实数系基本定理的机会．

## 5.2.1 零点存在定理
设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义．若存在某个点 $x_0 \in I$ 使得 $f\left(x_0\right)=0$ ，则称 $x_0$ 是函数 $f$ 的零点，也称 $x_0$ 是方程

$$
f(x)=0
$$

的根．
如何判定一个方程有根当然是一个重要问题．在中国古代数学中广泛使用于方程求根计算的一条原理正是下面要介绍的零点存在定理，也称为根的存在定理。

定理 5.5 （**连续函数的零点存在定理**）有界闭区间上的连续函数若在区间的两个端点处异号，则一定在此区间中有根。这就是

$$
f \in C[a, b], f(a) f(b)<0 \Longrightarrow \exists \xi \in[a, b]: f(\xi)=0
$$

注意：零点存在定理中包含了两个条件：（1）$f$ 在 $[a, b]$ 上连续，（2）$f(a) f(b)<0$ ，缺一不可。

从图5．2的两个分图可见这个定理有明显的几何意义，即函数图像与 $x$ 轴至少有一个交点．然而这个定理与实数系的连续性有密切联系．例如函数 $f(x)=x^2-2$
在区间 $[0,2]$ 两端的取值 $f(0) f(2)=-2 \cdot 2<0$ ，但若将 $x$ 的取值范围限制在有理数系中，则方程 $x^2-2=0$ 就没有根．因此实数系基本定理在证明中将起关键作用．
 ![图片](/uploads/2025-01/ac8eb7.jpg)
 
 证 1 （用闭区间套定理，并用 Bolzano 二分法构造闭区间套）设 $f \in C[a, b]$且 $f(a) f(b)<0$ 。记 $\Delta_1=\left[a_1, b_1\right]$ ，其中 $a_1=a, b_1=b$ ，考虑用它的中点分成的两个等长度的闭子区间 $\left[a, \frac{a+b}{2}\right]$ 和 $\left[\frac{a+b}{2}, b\righ

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