最后更新: 2025-03-14 21:17 查看: 232 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

零点定理

## 5.2 区间上连续函数的基本性质
上一节中给出的连续函数的局部性质都可以从连续性定义直接导出，因此可以说都是重要的平凡性质。这一节要介绍的是连续函数的比较深刻的重要性质，它们与所考察函数的整个定义域有关，因此称为整体性质，或大范围性质。这里可以事先指出，在某种意义上说，连续函数的整体性质是由定义区间决定的。

函数的这种整体性质实际上已经出现过．最常见的就是在一个区间上定义的函数的有界性（参见 §3．3．3）。例如，考虑在区间 $(0,1]$ 上定义的函数

$$
f(x)=\frac{1}{x}
$$

它在每一点 $x_0 \in(0,1]$ 处连续，因此 $\exists \delta>0, \exists M>0, \forall x \in O_\delta\left(x_0\right):\left|\frac{1}{x}\right| \leqslant M$ ．然而这个函数在 $(0,1]$ 上显然是无界的．还可以看到，对每个正数 $\delta \in(0,1)$ ， $f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $[\delta, 1]$ 上总是有界的，即有 $0<\frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{\delta}$ ．可见，说一个函数有界时，必须说明是在什么区间上考虑，而且不能从函数在每个点邻近的局部有界性无条件地推出函数在一个区间上有界的结论。这是整体性质所共有的特征。

下面我们逐个介绍区间上连续函数的几个重要性质。它们往往具有明显的几何意义，但其证明却涉及到实数系的连续性，其中都需要用到某个实数系基本定理。这也提供了学习如何应用实数系基本定理的机会．

## 5.2.1 零点存在定理
设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义．若存在某个点 $x_0 \in I$ 使得 $f\left(x_0\right)=0$ ，则称 $x_0$ 是函数 $f$ 的零点，也称 $x_0$ 是方程

$$
f(x)=0
$$

的根．
如何判定一个方程有根当然是一个重要问题．在中国古代数学中广泛使用于方程求根计算的一条原理正是下面要介绍的零点存在定理，也称为根的存在定理。

定理 5.5 （**连续函数的零点存在定理**）有界闭区间上的连续函数若在区间的两个端点处异号，则一定在此区间中有根。这就是

$$
f \in C[a, b], f(a) f(b)<0 \Longrightarrow \exists \xi \in[a, b]: f(\xi)=0
$$

注意：零点存在定理中包含了两个条件：（1）$f$ 在 $[a, b]$ 上连续，（2）$f(a) f(b)<0$ ，缺一不可。

从图5．2的两个分图可见这个定理有明显的几何意义，即函数图像与 $x$ 轴至少有一个交点．然而这个定理与实数系的连续性有密切联系．例如函数 $f(x)=x^2-2$
在区间 $[0,2]$ 两端的取值 $f(0) f(2)=-2 \cdot 2<0$ ，但若将 $x$ 的取值范围限制在有理数系中，则方程 $x^2-2=0$ 就没有根．因此实数系基本定理在证明中将起关键作用．
 ![图片](/uploads/2025-01/ac8eb7.jpg)
 
 证 1 （用闭区间套定理，并用 Bolzano 二分法构造闭区间套）设 $f \in C[a, b]$且 $f(a) f(b)<0$ 。记 $\Delta_1=\left[a_1, b_1\right]$ ，其中 $a_1=a, b_1=b$ ，考虑用它的中点分成的两个等长度的闭子区间 $\left[a, \frac{a+b}{2}\right]$ 和 $\left[\frac{a+b}{2}, b\right]$ 。若恰好有 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，则不必再做下去．否则，在这两个闭子区间中一定有一个使得函数 $f$ 在其两端异号，就取它为 $\Delta_2$ 。这时 $\left|\Delta_2\right|=\frac{1}{2}\left|\Delta_1\right|=\frac{1}{2}(b-a)$ ．

然后取 $\Delta_2$ 的中点，继续进行下去，这时也有两种可能性．一种可能是做了有限次后，已经找到了 $f$ 的零点，于是就可以结束。另一种可能就是需要将上面的二分法过程做无限次，从而归纳地得到闭区间套 $\left\{\Delta_n\right\}$ ，其中记 $\Delta_n=\left[a_n, b_n\right]$ ， $\left|\Delta_n\right|=\frac{1}{2^{n-1}}(b-a)$ ．这个闭区间套的主要特征是对每个 $n$ ，成立

$$
f\left(a_n\right) f\left(b_n\right)<0
$$

根据闭区间套定理，存在惟一的点 $\xi \in\left[a_n, b_n\right] \forall n$ ，而且有

$$
a_n \uparrow \xi, \quad b_n \downarrow \xi
$$

在不等式（5．3）中令 $n \rightarrow \infty$ ，并利用 $f$ 在点 $\xi$ 连续，就得到

$$
f^2(\xi) \leqslant 0
$$

因此只能是 $f(\xi)=0$ ．

注 上述证明中的二分法过程可以用于实际求出方程 $f(x)=0$ 的根的近似值，因此我们称之为＂构造性证明＂。与此相反，数学中的另一类证明只证明存在性，但其中所用的方法难以实际使用，因此称为＂纯粹存在性的证明＂。下面的第二个证明就是如此，它也有明显的几何意义，但难以用于实际求根计算．

证 2 （用确界存在定理，并用 Lebesgue ${ }^{(1)}$ 方法构造数集和确界）设 $f \in$ $C[a, b]$ ，对于条件 $f(a) f(b)<0$ 不妨设 $f(a)>0, f(b)<0$ 。否则可以对于 $-f$ 做下去．

定义数集

$$
F=\{x \in[a, b] \mid f(x)>0\}
$$

由于 $f(a)>0$ ，因此 $a \in F$ ，即 $F$ 为非空数集．对于前面的图 5.2 中的两个分图，在下面的图 5.3 中在 $x$ 轴上用粗黑直线段表代表数集 $F$（函数 $f$ 的图像改用细曲线）．
 ![图片](/uploads/2025-01/f970f5.jpg)
 
 从 $F$ 的定义可见它有上界 $b$ ，因此根据确界存在定理，存在

$$
\xi=\sup F \leqslant b
$$

利用第二章中关于确界与数列之间联系的定理 2.2 ，存在数列 $\left\{x_n\right\} \subset F$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\xi$ ．根据数集 $F$ 的定义，对每个 $n$ 成立不等式 $f\left(x_n\right)>0$ ．令 $n \rightarrow \infty$ ，并利用 $f$ 在点 $\xi$ 处连续，就得到

$$
f(\xi) \geqslant 0
$$

最后只需要证明 $f(\xi)>0$ 是不可能的．
用反证法（注意这种＂局部＂反证法在数学证明中是经常使用的）．若 $f(\xi)>0$ ，则 $\xi<b$ ．从连续函数的保号性定理，存在 $\delta>0$ ，使得 $O_\delta(\xi) \subset[a, b]$ ，且 $f$ 在邻域 $O_\delta(\xi)$ 上处处大于 0 ．于是有

$$
f\left(\xi+\frac{\delta}{2}\right)>0
$$

这表明有

$$
\xi+\frac{\delta}{2} \in F
$$

因此与 $\xi=\sup F$ 矛盾．这就证明了只能有 $f(\xi)=0$ ．

注 在推出 $f(\xi) \geqslant 0$ 时用了定理 2．2．其实也可以简单地如下证明 $f(\xi)<0$ 是不可能的．这里补充如下．

设 $f(\xi)<0$ 成立．则从连续函数的保号性定理，存在 $\eta>0$ ，使得 $f$ 在邻域 $O_\eta(\xi)$ 内处处小于 0 ．于是 $\xi$ 不是数集 $F$ 的最小上界，引出矛盾．

证 3 （用有限覆盖定理）设 $f \in C[a, b]$ ．从 $f(a) f(b)<0$ 开始．用反证法．设在定理条件满足时 $f$ 在 $[a, b]$ 没有零点。对于 $[a, b]$ 中的每个点 $x$ ，由于 $f(x) \neq 0$ ，根据连续函数的局部保号性定理（见定理 5．1），存在点 $x$ 的一个邻域 $O_\delta(x)$ ，使得 $f$在邻域 $O_\delta(x)$ 上严格大于 0 ，或严格小于 0 （即严格保号）。若 $x=a$（或 $x=b$ ），则将邻域改为它与 $[a, b]$ 的交集．当然这里邻域的半径 $\delta$ 一般与点 $x$ 有关．

对 $[a, b]$ 中的每个点都这样做，就得到 $[a, b]$ 的一个开覆盖。根据有限覆盖定理，在这个开覆盖中存在有限子集，即有限个开区间，它们的并仍然覆盖 $[a, b]$ ．

以下只考虑覆盖 $[a, b]$ 的这有限个开区间，并作如下处理。
从区间左端点 $a$ 开始．将有限个开区间中覆盖点 $a$ 的某个开区间记为 $O_1$（若不惟一则任取其一个）。由于 $f$ 在 $O_1$ 上保号，$f(a) f(b)<0$ ，因此 $O_1$ 的右端点必小于点 $b$ 。又由于 $O_1$ 的端点不属于开区间 $O_1$ ，因此在有限个开区间中一定存在覆盖 $O_1$ 的右端点的一个开区间，记为 $O_2$ ．由于 $f$ 在 $O_1$ 和 $O_2$ 上分别保号，而这两个开区间有非空交，因此 $f$ 在它们的并集 $O_1 \cup O_2$ 上保号．然后再观察 $O_2$ 的右端点，依此类推进行下去。

由于覆盖 $[a, b]$ 一共只有有限个开区间，有限次后一定会覆盖点 $b$ ，而且发现 $f$在 $[a, b]$ 上保号．这与 $f(a) f(b)<0$ 的条件矛盾．

例题 5.10 证明：实系数的奇数次多项式一定有实零点．（即实系数的奇数次代数方程一定有实根。）

证 设有多项式 $p(x)=a_0 x^{2 n-1}+a_1 x^{2 n}+\cdots+a_{2 n-1}$ ，其中 $n$ 为正整数，最高次项系数 $a_0 \neq 0$ ，则可以从

$$
p(x)=a_0 x^{2 n-1}\left(1+\frac{a_1}{x}+\cdots+\frac{a_{2 n-1}}{x^{2 n-1}}\right)
$$

看出当 $|x|$ 充分大时 $p(x)$ 的符号由其最高次项 $a_0 x^{2 n-1}$ 决定，因此存在充分大的 $M>0$ ，使得 $p(M)$ 与 $p(-M)$ 反号，从而在 $(-M, M)$ 中 $p(x)$ 一定有零点。

现在举出零点存在定理的一个推广。
例题 5.11 设 $f \in C[a,+\infty)$ ，且存在极限 $f(+\infty)$ ．若有 $f(a) f(+\infty)<0$ ，证明：$f$ 在 $[a,+\infty)$ 中一定有零点．

证1 由于

$$
f(a) f(+\infty)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(a) f(x)<0
$$

由保号性定理知存在 $M>a$ ，使得 $f(a) f(M)<0$ ．在有界闭区间 $[a, M]$ 上用零点存在定理即可。

证 2 （只用极限定义的证明）不妨假设 $f(a)<0, f(+\infty)=A>0$（否则讨论 $-f)$ ．这时对于 $\varepsilon=A, \exists M>a, \forall x \geqslant M:|f(x)-A|<A$ ，也就是

$$
-A<f(x)-A<A
$$

因此 $f(M) > 0$ ．然后在 $[a, M]$ 上用零点存在定理．
注 条件 $f(a) f(+\infty)<0$ 不能减弱为 $f(a) f(+\infty) \leqslant 0$ ，否则结论未必成立．例如 $y= e ^{-x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上就是如此．

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