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黎曼函数的连续性

## 黎曼函数的连续性
例题 5．9 Riemann 函数的定义为

$$
R(x)=\left\{\begin{aligned}
\frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q}(p, q \text { 为互素的整数, } q>0), \\
0, & x \notin Q .
\end{aligned}\right.
$$

求出 $R(x)$ 的所有间断点，并确定其类型．
分析 取定一个点 $x_0$ ．由于 $R(x)$ 在每个无理点处取 0 值，对每个正整数 $n$ ，可以在去心邻域 $0<\left|x-x_0\right|<\frac{1}{n}$ 中取一个无理点 $x_n$ ．这样得到的数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 Heine 归结原理中的条件，且有 $f\left(x_n\right) \equiv 0 \forall n$ ．由此知道，若存在极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} R(x)$ ，则这个极限只能为 0 。这样就已经证明了 $R(x)$ 在每个有理点处一定不连续。但为了知道它们的类型，又为了讨论 $R(x)$ 在无理点处是否连续，则还需做进一步的研究．

在 $x_0$ 为无理点的情况，$R\left(x_0\right)=0$ ．这时是否成立 $\lim _{x \rightarrow x_0} R(x)=R\left(x_0\right)=0$ ？这取决于对每个给定的 $\varepsilon>0$ ，当 $\left|x-x_0\right|$ 充分小时是否能够成立

$$
\left|R(x)-R\left(x_0\right)\right|=|R(x)-0|=R(x)<\varepsilon
$$

当然这里只需考虑 $x$ 为有理数的情况．于是问题就变成对于 $x=\frac{p}{q}$ ，其中 $p, q$ 为互素的整数且 $q>0$ 时，是否成立

$$
R\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}<\varepsilon
$$

这似乎也很难研究．用反向思维方法，我们问：什么情况下它不成立？这时有

$$
\frac{1}{q} \geqslant \varepsilon \Longleftrightarrow q \leqslant \frac{1}{\varepsilon}
$$

由此可见，会引起麻烦的分数 $\frac{p}{q}$ 的分母 $q$ 是受到限制的，即只能是

$$
q \in\left\{1,2, \cdots,\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]\right\}
$$

此外，对于函数 $R(x)$ 在点 $x_0$ 的极限来说，可以一开始就将问题限制到 $x_0$ 的一个去心邻域中去研究。例如令 $0<\left|x-x_0\right|<1$ ．在这个范围内分母不超过 $\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]$ 的分数 $\frac{p}{q}$ 的个数是有限的．于是若取 $\delta>0$ 充分小，就可以避开所有这些点，从而使得在 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 内的每个点满足 $|R(x)|<\varepsilon$ ．这样就得到 $\lim _{x \rightarrow x_0} R(x)=0$ ．还要看到，以上分析与点 $x_0$ 是有理数还是无理数是没有关系的．
现在写出正式的证明．
证 只要证明对每个 $x_0 \in R$ ，都成立 $\lim _{x \rightarrow x_0} R(x)=0$ ，从而就知道 Riemann 函数的所有间断点恰好就是有理点全体，而且都是可去间断点．

在点 $x_0$ 的半径为 1 的去心邻域

$$
O_1\left(x_0\right)-\left\{x_0\right\}=\left(x_0-1, x_0\right) \cup\left(x_0, x_0+1\right)
$$

中，对于给定的 $\varepsilon>0$ ，分母 $q$ 满足条件

$$
0<q \leqslant \frac{1}{\varepsilon}
$$

的分数 $\frac{p}{q}$ 只有有限多个，将它们全体记为

$$
x_1, x_2, \cdots, x_l .
$$

取

$$
\delta=\min \left\{1,\left|x_1-x_0\right|,\left|x_2-x_0\right|, \cdots,\left|x_l-x_0\right|\right\}>0
$$

则当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，若 $x \in Q$ ，则 $x=\frac{p}{q}$ 中的分母 $q$ 满足

$$
q \geqslant\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1>\frac{1}{\varepsilon}
$$

从而成立

$$
|R(x)-0|=R(x)=\frac{1}{q}<\varepsilon
$$

对于 $x \notin Q$ ，因 $R(x)=0$ ，这当然也成立．因此得到 $\lim _{x \rightarrow x_0} R(x)=0$ ．

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