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数学分析
第三篇 函数论
连续延拓原理
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更新:
2025-03-14 21:12
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连续延拓原理
## 连续延拓原理 连续延拓原理 设 $x_0$ 是函数 $f$ 的可去间断点，则可以定义一个新的函数 $$ \tilde{f}(x)=\left\{\begin{aligned} f(x), & x \neq x_0, \\ \lim _{x \rightarrow x_0} f(x), & x=x_0, \end{aligned}\right. $$ 使得新的函数 $\tilde{f}$ 在点 $x_0$ 连续，而在其他点上与 $f$ 相同． 注 回顾在第三章中关于函数的限制和延拓的定义 3.3 ，可见连续延拓原理是施行延拓的一种最简单情况。 现在举出一个用连续延拓原理的不平凡例子，这就是函数 $\frac{\sin x}{x}$ ．它不仅是数学分析课程中多次出现的重要例子，而且在信号处理等领域中有重要的实际应用。它的图像见下面的图 5．1．  例题 5.8 函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 没有定义，但已知在该点的极限等于 1 （见定理 4．7），因此 $x=0$ 是这个函数的可去间断点．按照连续延拓原理中的做法，即将定义域扩大到点 $x=0$ ，并补充定义该点的函数值为 1 ，这样就得到了一个处处连续的函数： $\S 5.1$ 连续函数的局部性质 $$ \tilde{f}(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{aligned}\right. $$ 这样就使得延拓后得到的函数 $\tilde{f}$ 处处连续，而且今后还会知道它处处无限＂光滑＂。 下面讨论例题 3.9 中的 Riemann 函数的连续性．
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