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间断点及其分类

## 5.1.4 间断点及其分类
间断点就是不连续点．
定义 5.4 若函数 $f$ 在点 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f$ 的间断点，或不连续点．
这个看似简单的定义实际上有不清楚之处．这里的问题在于是否允许 $f$ 在点 $x_0$ 处没有定义？以 6 个三角函数的后 4 个函数为例，又如在例题 4.9 （参见图4．5）中 $\sin \frac{1}{x}$ 那样的初等函数，可见将间断点的定义放宽到定义域之外是合理的。当然要求 $f$ 至少在间断点 $x_0$ 的某一个去心邻域或某侧邻近中有定义．

接下来的问题是如何对间断点（即不连续点）作出合理的分类．下面先讨论函数至少在该点的一个去心邻域中有定义的情况。

比较简单的方法是先将间断点分为两类，它们都是对于等式

$$
f\left(x_0^{-}\right)=f\left(x_0\right)=f\left(x_0^{+}\right) ...(5.2)
$$

作出各种否定而得到的（参见定理 5．2）．

**定义5.5** 设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某一个去心邻域上有定义．
1．称点 $x_0$ 为 $f$ 的第一类间断点（或第一类不连续点），若在点 $x_0$ 处存在两个单侧极限，但不满足条件（5．2）．由此又可以从中分出两个子类：
> 详见高等数学里的介绍 https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=274
### 第一类间断点
1.1 若存在极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ ，即有 $f\left(x_0^{-}\right)=f\left(x_0^{+}\right)$，但 $f\left(x_0\right)$ 没有定义，或者有定义但 $f\left(x_0\right) \neq \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ ，则称 $x_0$ 为 $f$ 的可去间断点（或可去不连续点）；

1.2 满足条件

$$
f\left(x_0^{-}\right) \neq f\left(x_0^{+}\right)
$$

的第一类间断点称为跳跃点，又称

$$
\delta_{x_0}=f\left(x_0^{+}\right)-f\left(x_0^{-}\right)
$$

为其跳跃度（也有称 $\left|f\left(x_0^{+}\right)-f\left(x_0^{-}\right)\right|$为跳跃度的）．

### 第二类间断点
2．称点 $x_0$ 为 $f$ 的第二类间断点（或第二类不连续点），若两个单侧极限 $f\left(x_0^{-}\right)$和 $f\left(x_0^{+}\right)$中至少有一个不存在（包括为正负无穷大在内）．

类似地可以在函数的定义区间端点 $x_0$ 处，给出单侧间断点的定义，并作出分类．这时问题比较简单，只要根据函数在该点的单侧极限存在与否分为两类即可．

回顾在第三，四章中列举的许多函数，就可以找到定义 5.4 中的各种间断点．
例如在三角函数中，除了正弦函数和余弦函数之外，其余 4 个函数都有无穷多个第二类间断点，在这些点上函数本身没有定义，但两侧极限都是无穷大．

例题3．6中取最大整数函数 $y=[x]$ 在每个整数点处不连续，它们都是跳跃点，跳跃度为 1 （参看图 3．7）．

例题 3.7 的符号函数 $y=\operatorname{sgn} x$ 在点 $x=0$ 也不连续，该点也是跳跃点，跳跃度为 2 （参看图 3．8）。

例题 3.8 的 Dirichlet 函数 $y=D(x)$ 在本章的例题 5.6 中已经做过讨论，它是处处不连续的函数．从该例的第二个证明可以知道每个点 $x$ 处的两个单侧极限都不存在，因此都是第二类间断点．

例题 4.1 的单位跳跃函数 $y=H(x)$ 以 $x=0$ 为跳跃点，跳跃度为 1 （参看图 4．2）．

例题 4.2 的函数 $y=f(x)$ 在参数 $B \neq 0$ 时以 $x=0$ 为其可去间断点．若令 $f(0)=0$ ，就得到恒等于 0 的常值函数（参看图 4．3）．

下面对于可去间断点作补充说明．
这里＂可去＂（removable）的意思是清楚的，即对 $f$ 在点 $x_0$ 重新定义（若原来就有定义）或者补充定义（若原来没有定义）$f\left(x_0\right)=\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 之后，就可以使修改后的（新的）函数在点 $x_0$ 连续．我们对于施行这样的＂手术＂给一个正式的名称：

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