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第三篇 函数论
初等函数的连续性定理
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2025-03-14 21:08
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初等函数的连续性定理
## 初等函数的连续性定理 定理 5.4 （初等函数的连续性定理）初等函数必定是定义域上的连续函数． 证 这里的基础是所有基本初等函数在其自然定义域上处处连续，而初等函数的定义是对基本初等函数用有限次四则运算和复合运算得到的函数，因此用前面的结果就可以得到。 注1 取绝对值的运算可以看成是平方后再开方，因此若 $f$ 为初等函数，则 $|f|$也是初等函数．又从公式（5．1）可知，当 $f, g$ 是初等函数时， $\max \{f, g\}$ 和 $\min \{f, g\}$也是初等函数． 注2 由此可见，若初等函数有间断点（即不连续点），则只能在它的定义域之外去找（参看下面关于间断点的定义）。例如 $\tan x$ 的间断点恰好就是它没有定义的所有点 $n \pi+\frac{\pi}{2}$ ，其中 $n$ 取所有整数． 注 3 又由此可见，在第三章中的例题 3．6－3．9 都是非初等函数．只是其中的最后一个函数，即 Riemann 函数，它的间断点将在下面确定．此外，例题 4.1 的单位跳跃函数和例题 4.2 中的函数（在 $B \neq 0$ 时）也都是非初等函数．
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