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连续函数的四则运算

## 5.1.2 连续函数的四则运算
由连续性的定义和函数极限的四则运算法则就可以导出连续函数的四则运算法则，但这里要注意以下几点（以下的 $I$ 均为区间）：

1．若 $f \in C(I)$ ，则一定有 $|f| \in C(I)$ ，证明的方法是如下用三点不等式：

$$
\left||f(x)|-\left|f\left(x_0\right)\right|\right| \leqslant\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|
$$

2．从 $f, g \in C(I)$ 推出 $\max \{f, g\}, \min \{f, g\} \in C(I)$ ．
这里有两种证明方法，第一种方法是按照 $\max \{f, g\}$ 和 $\min \{f, g\}$ 的定义直接作出证明，第二种方法是利用公式（参见 $\S 3.2$ 的练习题 13）：

$$
\begin{aligned}
\max \{f, g\} & =\frac{f+g}{2}+\frac{|f-g|}{2} \\
\min \{f, g\} & =\frac{f+g}{2}-\frac{|f-g|}{2}
\end{aligned}
$$

3．从 $|f| \in C(I)$ 一般不能推出 $f \in C(I)$ ．为此见下面的例题．

**例题5.7** 举出在 $R$ 上定义的一个函数 $f$ ，它处处不连续，但 $|f|$ 却处处连续．
解 从例题 5.6 中的 Dirichlet 函数 $D(x)$ 出发，构造在 $R$ 上有定义的函数 $f$ ：

$$
f(x)=D(x)-\frac{1}{2} \forall x \in(-\infty,+\infty)
$$

可见函数 $f$ 在有理点上取值 $1 / 2$ ，在无理点上取值 $-1 / 2$ ，因此函数 $f$ 处处不连续，但恒有 $|f(x)|=\frac{1}{2}$ 成立，因此 $|f|$ 为常值函数，处处连续．

## 5.1.3 连续函数的复合运算
定理 5.3 设 $y=g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，$f(y)$ 在点 $y_0=g\left(x_0\right)$ 连续，则 $f(g(x))$ 在点 $x_0$ 连续．

证 从条件 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=g\left(x_0\right)=y_0$ 出发，这时定理4．10（即复合函数极限定理）中条件（2）满足，因此就有

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(g(x))=\lim _{y \rightarrow y_0} f(y)
$$

由于右边就是 $f\left(y_0\right)=f\left(g\left(x_0\right)\right)$ ，因此 $f \circ g$ 于点 $x_0$ 连续．
注 直接用连续性的 $\varepsilon-\delta$ 定义来证明也不难，留作练习题．
回顾 $\S 3.2 .5$ 关于基本初等函数的介绍，以及关于初等函数的定义 3.7 ，就可以利用连续函数的四则运算法则和定理 5.3 得到下列定理（其中用到的反三角函数的连续性可以用后面的定理 5.16 统一得到）．

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