最后更新: 2025-03-14 21:06 查看: 583 次纠错评论(0) 课件开VIP

连续性定义及其推广

## 连续性定义及其推广
本节先回顾连续性定义并作推广，同时介绍函数在连续点的任意小邻域中所具有的性质，即所谓局部性质．它们与第四章的函数极限有密切联系．例如从函数极限的相应定理即可得到下面的结论，证明留作练习题。

## 连续函数的局部有界性定理和保号性定理
定理 5.1 （连续函数的局部有界性定理和保号性定理）设 $f$ 在点 $x_0$ 连续，则 
（1）存在 $\delta>0$ ，使得 $f$ 在邻域 $O_\delta\left(x_0\right)$ 上有界；
（2）又若 $f\left(x_0\right)>0$ ，则存在 $\delta>0$ ，使得 $f$ 在邻域 $O_\delta\left(x_0\right)$ 上处处大于 0 ．

## 5.1.1连续性定义及其推广
先回顾在第四章的定义 4.2 ，函数 $f$ 在点 $x_0$ 连续就是成立

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)
$$

用 $\varepsilon-\delta$ 语言写出为：对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x\left(\left|x-x_0\right|<\delta\right):\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$ ．
从定理 4.5 又可以得到连续性的第二定义为：

$$
\forall\left\{x_n\right\}\left(x_n \rightarrow x_0\right): \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=f\left(x_0\right)
$$

回顾关于数集振幅的定义1．8，以及函数极限的 Cauchy 收玫准则（定理 4．12），就可以用函数 $f$ 在点 $x_0$ 邻近的（函数值集合的）振幅来刻画连续性．这就是下面的连续性第三定义．

定义 5.1 设 $f$ 在点 $x_0$ 的某个邻域中有定义．称

$$
\begin{aligned}
\omega_f\left(x_0, \delta\right) & =\sup _{x \in O_\delta\left(x_0\right)}\{f(x)\}-\inf _{x \in O_\delta\left(x_0\right)}\{f(x)\} \\
& =\sup _{x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in O_\delta\left(x_0\right)}\left\{\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|\right\}
\end{aligned}
$$
 
为 $f$ 在 $O_\delta\left(x_0\right)$ 上的振幅，它在 $\delta$ 充分小时有定义，且随 $\delta$ 减少而单调减少．又称

$$
\omega_f\left(x_0\right)=\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \omega_f\left(x_0, \delta\right)
$$

为 $f$ 在点 $x_0$ 的振幅．若 $\omega_f\left(x_0\right)=0$ ，则称 $f$ 于点 $x_0$ 连续．
作为定义 5.1 的例题，下面给出这个连续性定义与定义 4.2 的等价性证明．

**例题 5.1** 证明：定义 5.1 与定义 4.2 ，即 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ ，等价．
证 设 $f$ 在点 $x_0$ 处的振幅等于 0 ，则从 $\omega_f\left(x_0\right)=\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \omega_f\left(x_0, \delta\right)=0$ 可见，对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_0>0, \forall 0<\delta<\delta_0: \omega_f\left(x_0, \delta\right)<\varepsilon$ ．于是当 $\left|x-x_0\right|<\delta_0$ 时就有 $\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$ ，即 $f$ 于点 $x_0$ 处按照定义 4.2 为连续．

反之，设 $f$ 在点 $x_0$ 处按照定义 4.2 为连续，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_0>0, \forall x\left(\left|x-x_0\right|<\right.$ $\left.\delta_0\right):\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon / 2$ ．于是当 $x \in O_{\delta_0}\left(x_0\right)$ 时有

$$
f\left(x_0\right)-\frac{\varepsilon}{2}<f(x)<f\left(x_0\right)+\frac{\varepsilon}{2}
$$

由此可见 $\omega_f\left(x_0, \delta_0\right) \leqslant \varepsilon$ ．由于 $\omega_f\left(x_0, \delta\right) \leqslant \varepsilon$ 关于 $\delta$ 的单调性，当 $0<\delta<\delta_0$ 时也有 $\omega_f\left(x_0, \delta\right) \leqslant \varepsilon$ ．这就证明了 $\omega_f\left(x_0\right)=\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \omega_f\left(x_0, \delta\right)=0$ ．

为了给出一般区间上的连续函数的定义，需要将函数的连续性概念推广到单侧连续性。

**定义5.2** 称函数 $f$ 在点 $x_0$ 左侧（右侧）连续，或左（右）连续，若有

$$
\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=f\left(x_0\right) \quad\left(\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=f\left(x_0\right)\right)
$$

也就是

$$
f\left(x_0^{-}\right)=f\left(x_0\right) \quad\left(f\left(x_0^{+}\right)=f\left(x_0\right)\right) .
$$

注 如同函数极限的定义那样，在左侧连续的定义中已经隐含 $f$ 在点 $x_0$ 及其左侧邻近有定义．对于右侧连续也是如此．（参见基本类型的函数极限定义 4．1．）

**定理 5.2** 函数 $f$ 在点 $x_0$ 连续的充分必要条件是 $f$ 在点 $x_0$ 同时左侧连续和右侧连续，也就是

$$
f\left(x_0^{-}\right)=f\left(x_0\right)=f\left(x_0^{+}\right)
$$

证 根据 $f$ 在点 $x_0$ 的极限存在的充分必要条件是 $f$ 在点 $x_0$ 的两个单侧极限存在且相等（即 $\S 4.1 .4$ 的定理 4．3），再利用定义 5.2 即得。

**例题5.2** 设有分段定义的函数

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{\sin x}{2 x}, & x<0 \\ A, & x=0 \\ (1+a x)^{\frac{1}{x}}, & x>0\end{cases}
$$

问：其中的 $a$ 和 $A$ 应如何取才能保证函数 $f$ 在点 $x=0$ 处连续．
解 从 $f\left(0^{-}\right)=f(0)$ 可见应取 $A=1 / 2$ ．再从 $f\left(0^{+}\right)= e ^a=1 / 2$ 可见应取 $a=-\ln 2$ ．

**例题5.3** 设有分段定义的函数

$$
f(x)= \begin{cases}1, & x>0 \\ A, & x=0 \\ 0, & x<0\end{cases}
$$

问：$A$ 取何值时可使 $f$ 在 $x=0$ 处（1）右连续，（2）左连续，（3）连续．
解 从 $f\left(0^{-}\right)=0, f\left(0^{+}\right)=1, f(0)=A$ ，可见答案为：（1）$A=1$ 时右连续，（2） $A=0$ 时左连续，（3）不可能．

**例题5.4** 设 $f(x)=[x]$ ，即取最大整数函数，$n$ 为整数，确定 $f$ 在点 $x=n$ 处的连续性（见第三章的例题 3.6 和图 3．7）。

解 在区间 $[n, n+1)$ 上，$f(x)=[x]=n$ 取常值，可见 $f(x)=[x]$ 在点 $x=n$ 处右连续；而在区间 $[n-1, n)$ 上，$f(x)=[x]=n-1$ 也取常值，因此 $f\left(n^{-}\right)=n-1 \neq f(n)=n$ ，可见左侧不连续．

现在给出区间上连续函数的定义。
开区间上的连续函数就是在开区间的每个点处连续的函数．对于含有端点的区间上的连续函数，还要求在端点处满足相应的单侧连续性。下面只给出在 $[a, b]$上的连续函数的定义．对于其他区间上连续函数的定义可以类推．

**定义 5.3**

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上有定义．若 $f$ 在每个点 $x \in(a, b)$ 处连续，又在端点 $a$处右连续，在端点 $b$ 处左连续，则称 $f$ 是在 $[a, b]$ 上的连续函数，或 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，记为 $f \in C[a, b]$ ．

注 今后对于区间 $I$ ，用记号 $C(I)$ 表示在区间 $I$ 上的所有连续函数的集合．对于具体的区间，例如 $I=[a, b]$ ，习惯上将 $C([a, b])$ 简记为 $C[a, b]$ ．

在第四章中已经证明常值函数， $\sin x, \cos x, a^x(a>0)$ 都是在 $R =(-\infty,+\infty)$上的连续函数，又证明了 $\log _a x(a>0, a \neq 1)$ 和 $x^\alpha$ 都是在 $(0,+\infty)$ 上的连续函数 （见例题 4．4，4．6和 $\S 4.1$ 的练习题 16）．此外，多项式也是在 $R$ 上的连续函数．

**例题 5.5** 证明：当 $\alpha>0$ 时幂函数 $x^\alpha \in C[0,+\infty)$ ．
证 已知幂函数 $f(x)=x^\alpha$ 在 $x>0$ 时连续，在 $\alpha>0$ 时又有 $f(0)=f\left(0^{+}\right)=$ 0 ，因此于 $x=0$ 处右连续．

**例题 5.6** 证明第三章例题 3.8 中的 Dirichlet 函数 $D(x)$ 处处不连续．
证 1 用反证法．设 $D(x)$ 于某个点 $x_0$ 处连续，则对 $\varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in$ $O_\delta\left(x_0\right)$ ，成立 $\left|D(x)-D\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$ 。

由于有理数和无理数在 $R$ 中都处处稠密，因此可以在邻域 $O_\delta\left(x_0\right)$ 内取到有理数 $x_1$ 和无理数 $x_2$ ，这时 $D\left(x_1\right)=1, D\left(x_2\right)=0$ ．从不等式

证 2 利用连续性的第二定义（见第四章的定理 4．5），$f$ 于点 $x_0$ 连续的充要条件是对于收玫于 $x_0$ 的每一个数列 $\left\{x_n\right\}$ ，对应的数列 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收玫于 $f\left(x_0\right)$ ．

对于点 $x_0$ ，取一个完全由有理数组成的数列 $\left\{x_n\right\}$ 趋于 $x_0$ ，则相应的函数值组成的数列 $\left\{D\left(x_n\right)\right\}$ 是每一项等于 1 的常值数列，极限为 1 ．又取一个完全由无理数组成的数列 $\left\{y_n\right\}$ 趋于 $x_0$ ，则相应的函数值组成的数列 $\left\{D\left(y_n\right)\right\}$ 是每一项等于 0 的常值数列，极限为 0 ．由此可见 $D(x)$ 于点 $x_0$ 不连续．

证 3 用连续性的第三定义，即定义 5.1 ，由于在每一个邻域中存在有理数和无理数，因此函数 $D(x)$ 在每一个点的振幅总是 1 ，从而处处不连续．

注 上面的证 1 与第二章的例题 2.7 中的方法相同，而证 2 则与子列基本定理 （即定理 2．25）推论 1 的方法相同．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇： 1∞不定式极限

下一篇：连续函数的四则运算

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)