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复合函数的极限

## 4.2.6 复合函数的极限
这里要讨论的问题可概括如下：设已知

$$
\lim _{y \rightarrow A} f(y)=B
$$

作代换 $y=g(x)$ ，且满足条件 $\lim _{x \rightarrow a} g(x)=A$ ，问是否成立
$$
\lim _{x \rightarrow a} f(g(x))=\lim _{y \rightarrow A} f(y)=B
$$

这就是说在函数极限计算中变量代换是否可以无条件地使用．注意在前面的两个重要极限的证明中就已经多次使用过变量代换．

注 实际上等式（4．17）中往往需要计算的是左边的 $\lim _{x \rightarrow a} f(g(x))$ ，而已知的是 （4．16）．通过代换 $y=g(x)$ 将二者联系起来．当然需要满足条件 $\lim _{x \rightarrow a} g(x)=A$ ．

除了前面已经出现的变量代换使用之外再举一个例题．
例题 4.12 求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} e ^{-\frac{1}{x}}$ ．
解 作代换 $y=-1 / x$ ，则 $x \rightarrow 0^{+} \Longleftrightarrow y \rightarrow-\infty$ ．由（4．17）就有

$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} e^{-\frac{1}{x}}=\lim _{y \rightarrow-\infty} e^y=0
$$

然而可以举出反例说明（4．17）不是无条件成立的．
例题 4.13 设 $g(x) \equiv 0, a=A=0$ ，

$$
f(y)= \begin{cases}1, & y=0 \\ 0, & y \neq 0\end{cases}
$$

则有

$$
\lim _{y \rightarrow 0} f(y)=0
$$

又有 $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=0$ ，但是 $f(g(x)) \equiv 1$ ，因此

$$
\lim _{x \rightarrow 0} f(g(x))=1 \neq \lim _{y \rightarrow 0} f(y)=0
$$

对这个反例不难作出分析．根据极限定义，在条件（4．16）中只利用 $y \neq A$ 时的 $f(y)$ ．$f$ 在 $y=A$ 处可以没有定义，若有定义也不一定等于 $B$ 。而 $x \rightarrow a$ 时 $g(x)$ 不仅趋于 $A$ ，且完全可能在 $x$ 与 $a$ 接近的过程中取到 $A$ 值。例题 4.13 中的 $g(x) \equiv A$ ，这就是问题所在。

由此可见，（4．17）可能不成立完全是由于函数极限的定义中用了去心邻域而引起的。但这又是必要的，因为类似于 $\S 4.2 .4$ 中的两个重要极限的情况很多，只有在去心邻域的框架内才能使得极限问题得到合理的解决。

回顾函数的连续性定义，其中不用去心邻域，这样也就不会出现上述问题．此外，在自变量趋于无穷大的极限定义中根本不用去心邻域，因此也不会出现问题。

将以上几点综合起来就有以下定理，它给出了（4．17）成立的三个最常用的充分条件。

定理 4.10 （复合函数极限定理）设已知

$$
\lim _{x \rightarrow a} g(x)=A, \quad \lim _{y \rightarrow A} f(y)=B
$$

又设 $f(y)$ 满足以下三个条件之一：
（1）$\exists \eta_0>0, \forall 0<|x-a|<\eta_0: g(x) \neq A$ ，
（2）$f$ 于点 $y=A$ 处连续，
（3）$A$ 为 $\pm \infty$ ，且 $\lim _{y \rightarrow A} f(y)$ 有意义，
则成立

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(g(x))=\lim _{y \rightarrow A} f(y) \text { (即 (4.17)). }
$$

证 设条件（1）满足．从 $\lim _{y \rightarrow A} f(y)=B$ ，对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall 0<|y-A|<\delta$ ：

$$
|f(y)-B|<\varepsilon
$$

由于 $\lim _{x \rightarrow a} g(x)=A$ 和条件（1）成立，对于上述 $\delta>0$ ，总可以取到比 $\eta_0$ 更小的某个 $\eta>0$ ，使得 $\forall 0<|x-a|<\eta: 0<|g(x)-A|<\delta$ 。

合并以上，可见 $\forall \varepsilon>0, \exists \eta, \forall x(0<|x-a|<\eta)$ ：

$$
|f(g(x))-B|<\varepsilon,
$$

这样就证明了 $\lim _{x \rightarrow a} f(g(x))=B$ ．
在条件（2）满足时，$B=f(A)$ ．从 $f$ 于点 $A$ 连续，对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ， $\forall|y-A|<\delta:|f(y)-f(A)|<\varepsilon$ 。由于 $\lim _{x \rightarrow a} g(x)=A$ ，对于上述 $\delta>0, \exists \eta>0$ ， $\forall 0<|x-a|<\eta$ ，成立 $|g(x)-A|<\delta$ ．

合并以上，可见 $\forall \varepsilon>0, \exists \eta$ ，当 $0<|x-a|<\eta$ 时就有

$$
|f(g(x))-f(A)|<\varepsilon
$$

这样就证明了 $\lim f(g(x))=f(A)=B$ ．

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