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函数极限的存在定理

## 4.2.7 函数极限的存在定理
在第二章数列极限中已经建立了两个数列极限存在定理：单调有界数列收玫定理和 Cauchy 收玫准则（即定理 2.15 和定理 2．23）。它们的主要特点就是只需要从给定的数列本身出发来判定其玫散性．显然对于函数极限也需要这样的定理．

首先推广第二章的单调有界数列收敛定理（即定理 2．15）．
定理 4.11 （单调函数的极限存在定理）设 $y=f(x)$ 是开区间 $(a, b)$ 上的单调函数，则 $f\left(a^{+}\right)$和 $f\left(b^{-}\right)$一定有意义．

对于 $f$ 为单调增加的情况，则有以下结论：
（1）若 $f$ 有上界，则存在极限 $f\left(b^{-}\right)$，否则 $f\left(b^{-}\right)=+\infty$ ；
（2）若 $f$ 有下界，则存在极限 $f\left(a^{+}\right)$，否则 $f\left(a^{+}\right)=-\infty$ ．
对于 $f$ 为单调减少的情况，则有以下结论：
$(1)^{\prime}$ 若 $f$ 有上界，则存在极限 $f\left(a^{+}\right)$，否则 $f\left(a^{+}\right)=+\infty$ ；
$(2)^{\prime}$ 若 $f$ 有下界，则存在极限 $f\left(b^{-}\right)$，否则 $f\left(b^{-}\right)=-\infty$ ．
证 只写出 $f$ 为单调增加情况的（1）的证明，对于其他的讨论是类似的。
若 $f$ 的值域 $A=\{f(x) \mid a<x<b\}$ 有上界，则 $A$ 存在上确界 $\beta$ 。既然 $\beta$ 是 $A$ 的最小上界，因此对 $\forall \varepsilon>0, \exists x^{\prime} \in(a, b): \beta-\varepsilon<f\left(x^{\prime}\right)$ 。令 $\delta=b-x^{\prime}$ ，则由于 $f$ 单调增加，因此当 $x^{\prime}=b-\delta<x<b$ 时成立 $\beta-\varepsilon<f\left(x^{\prime}\right) \leqslant f(x) \leqslant \beta$ ，即有 $|f(x)-\beta|<\varepsilon$ ．这就证明了 $\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=\beta$ ．

若 $f$ 在 $(a, b)$ 上没有上界，则 $\forall G>0$ ，存在 $x^{\prime} \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x^{\prime}\right)>G$ ．由于 $f$ 单调增加，因此当 $x^{\prime}<x<b$ 时 $f(x) \geqslant f\left(x^{\prime}\right)>G$ ．这就证明了 $\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=$ $+\infty$ ．
注 定理中的开区间 $(a, b)$ 可以是无界的．当 $a=-\infty$ 时将 $f\left(a^{+}\right)$理解为 $f(-\infty)$ ，当 $b=+\infty$ 时将 $f\left(b^{-}\right)$理解为 $f(+\infty)$ ．

对于 Cauchy 收玫准则在函数极限上的推广，只对基本类型函数极限来叙述和证明．在其他函数极限类型上的推广是类似的．

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