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函数极限的柯西收敛准则

## 函数极限的柯西收敛准则
定理 4.12 （函数极限的 Cauchy 收敛准则）设 $f$ 在点 $a$ 的一个邻域上有定义，则极限 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 存在的充分必要条件是

$$
\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x, x^{\prime} \in O_\delta(a)-\{a\}:\left|f(x)-f\left(x^{\prime}\right)\right|<\varepsilon .
$$

证 必要性 $(\Longrightarrow)$ ．设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ ，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in O_\delta(a)-\{a\}$ ： $|f(x)-A|<\varepsilon$ ．于是当 $x, x^{\prime} \in O_\delta(a)-\{a\}$ 时就有

$$
\left|f(x)-f\left(x^{\prime}\right)\right| \leqslant|f(x)-A|+\left|A-f\left(x^{\prime}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon .
$$

充分性（ $\Longleftarrow$ ）。根据归结原理的加强形式（见定理 4.4 后的推论），只要对于在 $f$ 有定义的范围 中满足条件 $x_n \neq a \forall n$ 和 $x_n \rightarrow a$ 的每个数列 $\left\{x_n\right\}$ ，证明数列 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收玫即可。

从条件可知，对给定的 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0, \forall x, x^{\prime} \in O_\delta(a)-\{a\}$ ，成立 $\left|f(x)-f\left(x^{\prime}\right)\right|<\varepsilon$ ．对此 $\delta>0$ ，由于 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，因此 $\exists N, \forall n \geqslant N: x_n \in$ $O_\delta(a)-\{a\}$ ．由此可见对 $\forall n, m \geqslant N$ ，就有 $x_n, x_m \in O_\delta(a)-\{a\}$ ，从而成立 $\left|f\left(x_n\right)-f\left(x_m\right)\right|<\varepsilon$ ．根据 Cauchy 收玫准则，数列 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收玫．
注1 回顾数列极限中 Cauchy 收玫准则（即定理 2．23）充分性的证明，可见这里要容易得多．当然这又是得益于归结原理．

注2 利用例题1．3中的数集振幅概念，可见极限 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 的存在等价于对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得 $f$ 在去心邻域 $O_\delta(a)-\{a\}$ 上的振幅不超过 $\varepsilon$ ．

由此就可以提供例题 4.9 的另一个证明：
由于函数 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在点 $x=0$ 的任何去心邻域中的振幅都是 2 ，因此在 $x \rightarrow 0$ 时的极限不存在．此外，从函数值集合的振幅出发，就有刻画函数连续性的第三种方法，即下一章的定义 5．1．

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