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无穷小与无穷大基本概念

## 无穷小与无穷大基本概念
与第二章数列极限类似，对函数极限也可以引入无穷小量的记号 $o(1)$ 与有界量 $O(1)$ 的记号．只是除非另有说明或约定，使用这些记号时必须在后面加括号，说明自变量趋于什么，即从自变量角度来看是什么样的极限过程，否则就没有说清楚是什么意思。

例如，对同一个函数 $y=\frac{1}{x}$ ，有

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{x}=o(1)(x \rightarrow \pm \infty) \\
& \frac{1}{x}= \pm \infty\left(x \rightarrow 0^{ \pm}\right) \\
& \frac{1}{x}=O(1)(x \rightarrow a \neq 0) .
\end{aligned}
$$

这里对于有界量记号需要作些解释．如同函数极限的局部有界性定理一样（参见定理 4．2），记号

$$
f(x)=O(1)(x \rightarrow a)
$$

的定义是：$\exists \delta>0, \exists M>0, \forall x \in O_\delta(a)-\{a\}:|f(x)| \leqslant M$ ．类似地定义记号 $f(x)=O(1)\left(x \rightarrow a^{+}\right)$与 $f(x)=O(1)\left(x \rightarrow a^{-}\right)$．

对于 $x$ 趋于无穷大的情况，例如

$$
f(x)=O(1)(x \rightarrow+\infty),
$$

它的定义是 $\exists M>0, \exists G>0, \forall x>G:|f(x)| \leqslant M$ ．类似地定义记号 $f(x)=$
$$
O(1)(x \rightarrow-\infty) .
$$

注 这里重复一下在第二章引入记号小 $o$ 与大 $O$ 时提请的注意（参见例题 2.18 前的说明），即含有这类记号的等式不是普通等式，其中有极限过程，因此习惯上约定从左往右读，而不能反过来。例如对每一种极限过程都成立

$$
o(1)=O(1),
$$

即无穷小量必是局部有界量．但是反过来，

$$
O(1)=o(1)
$$

是错误的．因为局部有界量，不论是哪一种极限过程，未必是无穷小量．

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