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等价量

## 4.3.2 等价量
现在介绍等价量概念。
下面在不写出具体的极限过程时就是表示对所有极限过程都成立，但对于具体的等价量关系则必须在后面加括号，说明是哪一种极限过程．此外，等价量概念
对于第二章中的数列极限也是适用的．
定义 4.3 设有

$$
\lim \frac{u}{v}=1
$$

其中设 $v \neq 0$ ，或更广一些，设有

$$
u=v(1+o(1)),
$$

则称 $u$ 与 $v$ 是**等价量**，并记为 $u \sim v$ ．
由定义可见，若在某种极限过程中用 $v$ 代替 $u$ ，则只会引起较小的相对误差．
先看一个例子。

$$
\begin{array}{r}
x^2+x=x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)=x^2(1+o(1)) \sim x^2(x \rightarrow \pm \infty), \\
x^2+x=x(1+x)=x(1+o(1)) \sim x(x \rightarrow 0),
\end{array}
$$

它还可以推广到一般的多项式，留作练习题．
下面是几个常用的等价量关系．
1．将函数极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ 换一个写法，就有

$$
\sin x \sim x(x \rightarrow 0)
$$

它表明正弦函数 $y=\sin x$ 在点 $x=0$ 的邻近可以用 $y=x$ 来近似代替．
2．从函数极限 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}= e$ 取对数即得到

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1
$$

其中利用了对数函数的连续性 ${ }^{(1)}$ ，这样就得到

$$
\ln (1+x) \sim x(x \rightarrow 0) .
$$

它表明函数 $y=\ln (1+x)$ 在点 $x=0$ 的邻近可以用 $y=x$ 来近似代替．
3．从（4．19）作一个平移就得到

$$
\ln x \sim x-1(x \rightarrow 1)
$$

它表明函数 $y=\ln x$ 在点 $x=1$ 的邻近可以用 $y=x-1$ 来近似代替．
4．指数函数 $e ^x$ 在 $x=0$ 邻近的性态有等价量关系：

$$
e^x-1 \sim x(x \rightarrow 0) .
$$

为此令 $y= e ^x-1$ ，则 $x \rightarrow 0 \Longleftrightarrow y \rightarrow 0$ ，因此有

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{y}{\ln (1+y)}=1
$$

这里也利用了复合函数的极限定理 ${ }^{(1)}$ 。
5．最有用的等价量关系之一是关于阶乘 $n$ ！的 Stirling ${ }^{(2)}$ 公式：

$$
n!\sim\left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot \sqrt{2 \pi n}
$$

它的证明方法很多，但目前我们的工具还不够，将在第二册中给出证明．
6．比 Stirling 公式稍弱一点是下面一个也很有用的公式：

$$
\sqrt[n]{n!} \sim \frac{n}{e}
$$

见前面的例题 2.31 。
下面介绍等价量概念在函数极限计算中的应用，这就是＂等价量代换法＂。一般地说，这就是指在求乘积形式的函数极限时，可以将其中的因子用比较简单或已知的等价量来代替，从而将问题简化．为此先看有关等价量关系的一个基本结果。

定理 4.13 （1）若 $u \sim v$ ，则 $\lim u$ 与 $\lim v$ 同时存在或同时不存在，若存在则成立 $\lim u=\lim v$ 。
（2）在 $u \sim \widetilde{u}$ 时，成立 $u v \sim \widetilde{u} v$ 和 $\frac{v}{u} \sim \frac{v}{\widetilde{u}}($ 若 $u \neq 0)$ ．
证（1）的证明只要按照定义4．3写出 $u=v \cdot \frac{u}{v}$ 或者 $u=v(1+o(1))$ 即可．
（2）写出 $u=\widetilde{u}(1+o(1))$ ，就有

$$
u v=\widetilde{u} v(1+o(1)),
$$

这就是 $u v \sim \widetilde{u} v$ ．又从

$$
\frac{v}{u}=\frac{v}{\widetilde{u}(1+o(1))}=\frac{v}{\widetilde{u}}(1+o(1))
$$
得到 $\frac{v}{u} \sim \frac{v}{\widetilde{u}}$ ．

注 定理4．13之（2）表明，在对于乘除形式的表达式求极限时，其中每个因子可以用等价量来代替，这就是等价量代换法。

下面举例说明如何用等价量代换法计算函数极限。
例题4．14 求 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\ln (1-x)}$ ．
解 这是 $\frac{0}{0}$ 型的不定式，利用 $\sin 3 x \sim 3 x(x \rightarrow 0)$ 和 $\ln (1-x) \sim-x(x \rightarrow 0)$ ，就可以得到
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\ln (1-x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{-x}=-3
$$

注 由于这是第一次用等价量代换法，因此要将上述做法的根据仔细考察一下．实际上若将中间步骤写出来就更清楚了．从

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\ln (1-x)}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[\left(\frac{\sin 3 x}{3 x}\right) \cdot\left(\frac{-x}{\ln (1-x)}\right) \cdot\left(\frac{3 x}{-x}\right)\right]
$$

可见，我们将原来的表达式写成为 3 个因子的乘积，在它们的极限分别存在的前提下，就可以变成三个因子的极限的乘积．由于前两个因子中的分子与分母为等价量，因此它们的极限都是 1 ，这样就知道答案就是由第 3 个因子的极限决定的 -3 ．

例题 4.15 求 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$ ．
解 这是 $\frac{0}{0}$ 型的不定式．用三角函数的半角公式和等价量代换法就有

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2\left(\frac{x}{2}\right)^2}{x^2}=\frac{1}{2}
$$

注 公式

$$
1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}(x \rightarrow 0)
$$

也是经常有用的等价量关系之一。
例题 4.16 求 $I=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{x^5-2 x^3+x}{3 x^5-3 x-2}$ ．
解1 这是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的不定式．用第二章中的方法（参见例题 2.7 和 2．19），将分子分母同除以 $x^5$ ，就有

$$
I=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4}}{3-\frac{3}{x^4}-\frac{2}{x^5}}=\frac{1}{3}
$$

解2 用等价量方法，不妨先证明以 $x$ 为自变量的多项式当 $x \rightarrow \pm \infty$ 时与其最高次项等价，就有

$$
I=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left[\left(\frac{x^5-2 x^3+x}{x^5}\right) \cdot\left(\frac{3 x^5}{3 x^5-3 x-2}\right) \cdot \frac{1}{3}\right]=\frac{1}{3}
$$

例题 4.17 求 $I=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin x-\sin a}{x-a}$ ．
解 这是 $\frac{0}{0}$ 型的不定式．用三角函数的和差化积公式与等价量代换法，就有

$$
I=\lim _{x \rightarrow a} \frac{2 \sin \frac{x-a}{2} \cos \frac{x+a}{2}}{2 \cdot\left(\frac{x-a}{2}\right)}=\lim _{x \rightarrow a}\left[\left(\frac{\sin \frac{x-a}{2}}{\frac{x-a}{2}}\right) \cdot \cos \frac{x+a}{2}\right]=\cos a
$$

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