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高阶无穷小

## 4.3.3 记号 $o(\nu)$ 和 $O(\nu)$
这是对记号 $o(1), O(1)$ 的推广．与前面的约定一样，在以下所述结论对所有极限过程都适用时，就不写出对极限过程的说明．

定义4．4 记号 $o(v)=o(1) v, O(v)=O(1) v$ ，也就是

$$
\begin{gathered}
u=o(v) \Longleftrightarrow \frac{u}{v}=o(1), \\
u=O(v) \Longleftrightarrow \frac{u}{v}=O(1)
\end{gathered}
$$

又在 $u=o(v)$ 时记为
$$
|u| \ll|v| \text {, 或 }|v| \gg|u| \text {. }
$$

称为 $u$ 远远小于 $v$ ，或 $v$ 远远大于 $u$ ．（当然这都是相对于某种极限过程而言的．）
举出这方面的重要例子．首先是有关数列方面的结果．
**例题 4.20** 设 $a>1, \varepsilon>0$ ，则有

$$
n^n \gg n!\gg a^n \gg n^{\varepsilon} \gg \ln n
$$

证 极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{n^n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^n}{n!}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{\varepsilon}}{a^n}=0$ 见 $\S 2.1$ 的练习题 11,12 ， 13．极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n^{\varepsilon}}=0$ 当 $\varepsilon=1$ 时即是 $a= e$ 时的 $\S 2.1$ 的练习题 14 ．对于 $\varepsilon>0$则可从

$$
\frac{\ln n}{n^{\varepsilon}}=\frac{1}{\varepsilon} \cdot \frac{\ln n^{\varepsilon}}{n^{\varepsilon}}=o(1)
$$

得到。
将例 1 中的部分结果转移到函数极限上就有

**例题4.21** 设 $a>1, \varepsilon>0$ ，则有

$$
a^x \gg x^{\varepsilon} \gg \ln x(x \rightarrow+\infty)
$$

此外还有

$$
\frac{1}{x^{\varepsilon}} \gg \ln x\left(x \rightarrow 0^{+}\right)
$$

注意这最后一式中左边为正无穷大量，右边为负无穷大量．
请注意，以上两个例子中的许多结果都是今后的基本常识，需要记住．这里特地将有关对数函数 $\ln x$ 的几个重要极限关系列举如下：

$$
\begin{aligned}
& \ln x \sim x-1(x \rightarrow 1), \text { 也就是 } \ln (1+x) \sim x(x \rightarrow 0), \\
& \ln x \ll x^{\varepsilon} \forall \varepsilon>0(x \rightarrow+\infty), \\
& \ln x \ll \frac{1}{x^{\varepsilon}} \forall \varepsilon>0\left(x \rightarrow 0^{+}\right) .
\end{aligned}
$$

对于后两个关系也可以记住以下形式：

$$
\begin{aligned}
& \forall \varepsilon>0, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x^{\varepsilon}}=0 \\
& \forall \varepsilon>0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\varepsilon} \ln x=0
\end{aligned}
$$

这里应当与 $x>0$ 范围的正指数幂函数 $x^{\varepsilon}$ 和负指数幂函数 $\frac{1}{x^{\varepsilon}}$ 的图像联系起来理解它们的意义（参看幂函数在第一象限的示意图3．11）．又可以说成为：对数函数 $\ln x$ 当 $x \rightarrow+\infty$ 和 $x \rightarrow 0^{+}$时都是无穷大量，但是就绝对值而言，都远远小于在这两种情况时相应的幂函数所生成的无穷大量。

下面是今后在比较无穷小量时的常用概念．
对于同一极限过程时的无穷小量 $u$ 和 $v$ ，若有 $u=o(v)$ ，则称 $u$ 是比 $v$ 更为高阶的无穷小量．更进一步的做法是选定某一个无穷小量作为＂标准＂，用以作为比较其他无穷小量的尺度．下面的定义提供了当 $x \rightarrow 0$ 时的无穷小量之间的比较方法．

定义 4.5 对于 $x \rightarrow 0$ 的极限过程，将 $x$ 选作为标准的 1 阶无穷小量，对于正实数 $\alpha$ 和常数 $c \neq 0$ ，称 $c x^\alpha$ 为 $\alpha$ 阶无穷小量．称 $o\left(x^\alpha\right)$ 为高于 $\alpha$ 阶的无穷小量．

例如，从前面的许多等价量关系和例题 4.14 知道：以下函数 $\sin x, \ln (1+$ $x), e ^x-1, \sin 3 x, \ln (1-x)$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时都是一阶无穷小量．又从例题 4.15 得到的公式（4．24）知道当 $x \rightarrow 0$ 时， $1-\cos x$ 是 2 阶无穷小量．

容易将定义 4.5 推广到 $x \rightarrow x_0$ 的极限过程。例如称 $o\left(\left(x-x_0\right)^n\right)$ 为 $x \rightarrow x_0$ 时高于 $n$ 阶的无穷小量．此外，也可以将以上做法推广到无穷大量的比较，这里从略．

注 应当指出，定义 4.5 给出了度量无穷小量的一种尺度，使得我们可以比较各个不同的无穷小量。由于其中的 $\alpha$ 可取任何正实数，因此这个尺度系统是连续的．然而并不是所有的无穷小量都可以纳入到这个尺度系统之中的．例如不难看出有

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x^\alpha}=\left\{\begin{aligned}
0, & 0<\alpha<1, \\
\text { 不存在, } & \alpha \geqslant 1 .
\end{aligned}\right.
$$

可见当 $x \rightarrow 0$ 时，无穷小量 $x \sin \frac{1}{x}$ 与所有 $\alpha<1$ 的无穷小量 $x^\alpha$ 相比更为高阶，但却不能确定它是多少阶的无穷小量。

4．3．4 例题
先举出一个重要的极限．
例题4．22 设 $\alpha \neq 0$ ，证明 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha$ ．
证 对于 $\alpha$ 为正整数的情况只要用二项式定理即可．
对于一般情况则可作变量代换

$$
y=(1+x)^\alpha-1,
$$

于是有 $\ln (1+y)=\alpha \ln (1+x)$ ，且 $x \rightarrow 0 \Longleftrightarrow y \rightarrow 0$ ，因此有

$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^\alpha-1}{x} & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{y}{x} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{y}{\ln (1+y)} \cdot \frac{\ln (1+x)}{x} \cdot \alpha\right) \\
& =\alpha \cdot \lim _{y \rightarrow 0} \frac{y}{\ln (1+y)} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=\alpha .
\end{aligned}
$$

当然这里又用了复合函数的极限．由于当 $x \neq 0$ 时总有 $y \neq 0$ ，即满足定理 4.10 的条件（1），因此用变量代换是合法的。

注 这样就有

$$
(1+x)^\alpha-1 \sim \alpha x(x \rightarrow 0)
$$

由于其中只要求 $\alpha \neq 0$ ，因此这个等价量关系实际上包含了许多具体的结果．特别取 $\alpha=1 / 2$ ，就有

$$
\sqrt{1+x}-1 \sim \frac{x}{2}(x \rightarrow 0) .
$$

可以利用这个结果于平方根的近似计算．
最后对 $\lim u^v$ 做一个一般性的讨论，其中 $u, v$ 都是 $x$（或 $n$ ）的函数，且 $u$ 只取正值．

对 $u^v$ 取对数，并利用指数函数的连续性，就有

$$
\lim u^v=\lim e^{v \ln u}=e^{\lim (v \ln u)} .
$$

可见问题只在于求

$$
\lim (v \ln u)
$$

注意这里可能出现 $0 \cdot \infty$ 型的不定式．经过分析可知这有 3 种可能：

$$
\text { (1) } u \rightarrow 0^{+}, v \rightarrow 0
$$

（2）$u \rightarrow+\infty, v \rightarrow 0$ ；
（3）$u \rightarrow 1, v \rightarrow \infty$.
习惯上将它们分别称为

$$
0^0 \text { 型, } \quad \infty^0 \text { 型, } \quad 1^{\infty} \text { 型 }
$$

的不定式．回顾以前已经提出的 4 种不定式，即是

$$
\infty-\infty \text { 型, } \frac{0}{0} \text { 型, } \frac{\infty}{\infty} \text { 型, } \quad 0 \cdot \infty \text { 型, }
$$

就得到了数列极限和函数极限中的 7 种不定式．
注意：实际上这三种新的不定式在第二章已经出现，只是当时没有从 $\lim u^v$ 的一般性角度进行讨论而已。因此下面的例子有不少都是以前见过的。 $0^0$ 型不定式：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}, \lim _{x \rightarrow 0} x^x
$$

$\infty^0$ 型不定式：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}, \lim _{n \rightarrow \infty}(1+n)^{\frac{1}{n}}, \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n!}, \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\frac{1}{x}}
$$

$1^{\infty}$ 型不定式：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n, \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}, \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x, \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{1-\cos x}} .
$$

注意在 $\infty^0$ 型的不定式中，

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}(1+n)^{\frac{1}{n}}
$$

与 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}$ 相似，但与极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n= e$ 无关，后者是 $1^{\infty}$ 型不定式．

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