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局部比较定理

## 4.2.5 局部比较定理
与局部有界性定理一样，将第二章中的比较定理（即定理 2．9）推广到函数极限时也只能是局部性的．如何将下列定理推广到其他类型函数极限可作为练习题．

定理 4.9 （局部比较定理）设 $a \in R$ ，且 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 和 $\lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 都存在．
（1）若存在 $\delta>0$ 使得当 $0<|x-a|<\delta$ 时成立 $f(x) \geqslant g(x)$ ，则有

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow a} g(x)
$$

（2）反之，若有

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)>\lim _{x \rightarrow a} g(x)
$$

则存在 $\delta>0$ ，使得当 $0<|x-a|<\delta$ 时成立

$$
f(x)>g(x)
$$

这个定理与收玫数列的比较定理除了局部性限制之外完全相同，它的证明与前面的函数极限四则运算法则的证明一样有两种方法，一种方法是模仿收敛数列的比较定理的证明，第二种方法是用 Heine 归结原理．下面给出按照第二种方法的证明（如定理 2.9 那样只需写出对于（2）的证明）。

证 对（2）用反证法．设（4．13）成立，但结论不成立．将对偶法则用于

$$
\exists \delta>0, \forall x(0<|x-a|<\delta): f(x)>g(x)
$$

就得到反证法假设的肯定叙述：

$$
\forall \delta>0, \exists x(0<|x-a|<\delta): f(x) \leqslant g(x)
$$

取 $\delta_n=\frac{1}{n}$ ，将满足上述条件的 $x$ 记为 $x_n$ ．对每个正整数 $n$ 都这样做，就得到一个数列 $\left\{x_n\right\}$ ，满足条件

$$
\forall n, 0<\left|x_n-a\right|<\frac{1}{n}, f\left(x_n\right) \leqslant g\left(x_n\right)
$$

另一方面，由于存在 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 和 $\lim _{x \rightarrow a} g(x)$ ，应用 Heine 归结原理的必要性部分，对于满足（4．15）的数列 $\left\{x_n\right\}$ ，对应的函数值数列 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 和 $\left\{g\left(x_n\right)\right\}$ 都收玫，且有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\lim _{x \rightarrow a} f(x), \quad \lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_n\right)=\lim _{x \rightarrow a} g(x)
$$

对（4．15）的 $f\left(x_n\right) \leqslant g\left(x_n\right)$ 用收玫数列的比较定理，就得到

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_n\right)=\lim _{x \rightarrow a} g(x)
$$

这与条件（4．13）矛盾．
最后，这里与收玫数列的比较定理 2.9 相同，可以得到保号性定理，同时还有：
注 在定理4．9的（1）中，若将其中的条件加强为＂在 $0<|x-a|<\delta$ 时成立 $f(x)>g(x) "$ ，那么是否可以将其结论（4．12）改进为 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)>\lim _{x \rightarrow a} g(x)$ ？同样这里的答案是不可能．因此要记住，对于以 $>$ 出现的不等式，若两边当 $x \rightarrow a$ 时极限都存在的话，则在取极限之后应当将不等式中的 $>$ 改为 $\geqslant$ ，因为成立等号是可能的．

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