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数学分析
第三篇 函数论
函数的四则运算与复合运算
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2025-03-14 17:56
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函数的四则运算与复合运算
## 函数的四则运算 设函数 $f, g$ 有相同的定义域 $X$ ，则它们的四则运算可自然地定义如下． 1．和函数 $f+g$ 与差函数 $f-g$ 在 $X$ 上有定义，对于 $x \in X,(f \pm g)(x)=$ $f(x) \pm g(x)$ ． 2．乘积函数 $f g$ 在 $X$ 上有定义，对于 $x \in X,(f g)(x)=f(x) g(x)$ ． 3．在函数 $g$ 于 $X$ 上处处不为 0 的条件下，商函数 $\frac{f}{g}$ 在 $X$ 上有定义，对于 $x \in X,\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$. 对于两个函数定义域不同但有非空交的情况，则可以用定义 3.3 中的限制运算作为工具，将问题归结为定义域相同的情况。 ## 复合运算 现在考虑两个函数的复合运算．这就是给定 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ ，能否得到一个新的复合函数 $y=(f \circ g)(x)=f(g(x))$ 的问题．这当然不一定．由于我们考虑的是实函数，若 $y=\sqrt{u}, u=-x^2-1$ ，则认为不存在 $f \circ g$ ．下面只给出最简单情况的复合函数的定义（参见 $\S 3.1$ 关于复合映射的一般定义）． 定义3．6 设定义域为 $U$ 的函数 $f$ 和定义域为 $X$ 的函数 $g$ 满足条件 $g(X) \subset U$ ，则存在定义域为 $X$ 的映射，它将 $x \in X$ 映射为 $f(g(x))$ ，称为 $f$ 与 $g$ 的复合函数，并记为 $f \circ g$ ，即 $$ (f \circ g)(x)=f(g(x)), \quad x \in X $$ 注 以上 6 种运算都需要在一定条件下才有意义．除了反函数的存在条件已经指出之外，对于其他运算在这里再作一点说明．例如，如果两个函数的定义域的交集为空集，那么它们的四则运算当然没有意义．对于复合运算还需要注意它是一种有序运算，即当 $f \circ g$ 和 $g \circ f$ 都有意义时，一般来说它们是不相同的．
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