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反函数存在定理

## 反函数存在定理
定理 3.1 （反函数存在定理）设 $f$ 是 $X$ 上的严格单调函数，则 $f$ 存在反函数

$$
x=f^{-1}(y), \quad y \in f(X),
$$

同时 $f^{-1}$ 是 $f(X)$ 上的严格单调函数，且与 $f$ 具有相同的单调性．
证 从 $f$ 为 $X$ 上的严格单调函数可见从 $X$ 到 $f(X)$ 的映射 $f$ 是一一映射，因此对于每个 $y \in f(X)$ 存在惟一的原象 $x$ 与之对应，这样就得到定义在 $f(X)$ 上的反函数．（参见 $\S 3.1$ 中关于逆映射的讨论．）

现在设 $f$ 为 $X$ 上的严格单调增加函数，则可以证明，反函数 $f^{-1}$ 为其定义域 $f(X)$ 上的严格单调增加函数．

设给定一对 $y_1, y_2 \in f(X)$ ，且 $y_1<y_2$ ．这时存在 $x_1, x_2 \in X$ ，使得 $f\left(x_1\right)=$ $y_1, f\left(x_2\right)=y_2$ ．由 $f$ 的严格单调性，可见这样的 $x_1$ 和 $x_2$ 都是由 $y_1$ 和 $y_2$ 所惟一确定的．这也就是说有 $x_1=f^{-1}\left(y_1\right), x_2=f^{-1}\left(y_2\right)$ ．

由于 $y_1 \neq y_2$ ，因此 $x_1 \neq x_2$ ．若 $x_1>x_2$ ，则从 $f$ 严格单调增加可推出 $y_1>y_2$ ，这与事先给定的 $y_1, y_2$ 之间的条件 $y_1<y_2$ 相矛盾．于是只能有 $x_1<x_2$ ．这样就证明了从 $y_1<y_2$ 只能得到 $f^{-1}\left(y_1\right)<f^{-1}\left(y_2\right)$ ．因此反函数 $f^{-1}$ 为严格单调增加．

同样可以证明，若 $f$ 严格单调减少，则反函数 $f^{-1}$ 也严格单调减少．
图 3.1 是上述证明的示意图．每个分图中的两条平行线分别代表 $X$ 和 $f(X)$ ．其中分图（a）是函数 $f$ 所代表的映射，分图（b）则是反函数 $f^{-1}$ 所代表的逆映射．分图（c）说明对 $y_1 \neq y_2$ 不可能发生 $x_1=x_2$ ，否则 $f$ 就不是单值函数了．分图（d）说明 $x_1>x_2$ 也是不可能的，因 $f$ 严格单调增加而 $y_1<y_2$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/4cd75a.jpg)
 
 定理 3.1 很有用．现在举几个例子，它们是在中学数学中已经知道的 6 个三角函数中的前 4 个和它们的反函数。熟悉这些函数的定义域，值域和它们的图像对于数学分析课程的学习是非常必要的．
注 当某个函数 $f$ 在其定义域上不是严格单调函数时，往往可以通过在定义 3.3 中的限制运算，使得在缩小后的定义域上的 $f$（作为一个新的函数）满足定理 3.1 中的条件，从而可以生成反函数．下面 4 个常用的反三角函数的生成都是如此．由于三角函数都是周期函数，它们不可能在原来的定义域上严格单调，因此都需要通过适当的限制运算之后才能用定理 $3.1$ ．

## 例题
**例题 3.1** 将正弦函数 $y=\sin x$ 限制在 $[-\pi / 2, \pi / 2]$ 上时为严格单调增加，从而有反函数，即反正弦函数 $y=\arcsin x$ ，其定义域是 $[-1,1]$ ，值域是 $[-\pi / 2, \pi / 2]$ ，而且也严格单调增加．

在图 3.2 中用实线作出反正弦函数的图像，用虚线作出限制后的正弦函数的图像．如前面已经说过，这两个图像关于直线 $y=x$ 是对称的．
 ![图片](/uploads/2025-01/36936b.jpg)
 
 
 **例题 3.2**  将 $y=\cos x$ 限制在 $[0, \pi]$ 上时为严格单调减少，从而有反函数，即反余弦函数 $y=\arccos x$ ，其定义域为 $[-1,1]$ ，值域为 $[0, \pi]$ ，而且也严格单调减少。

在图 3.3 中用实线作出反余弦函数的图像，用虚线作出限制后的余弦函数的图像．如例题 3.1 一样，这两个图像关于直线 $y=x$ 是对称的．
 ![图片](/uploads/2025-01/067a66.jpg)
 
 
 **例题 3.3** 将正切函数 $y=\tan x$ 限制在 $(-\pi / 2, \pi / 2)$ 上时为严格单调增加，因此有反函数，即反正切函数 $y=\arctan x$ ．它的定义域是 $(-\infty,+\infty)$ ，值域是 $(-\pi / 2, \pi / 2)$ ．当 $x \rightarrow \pm \infty$ 时分别以 $y= \pm \frac{\pi}{2}$ 为水平渐近线．

在图 3.4 中用实线作出反正切函数的图像，用虚线作出限制后的正切函数的图像以及两条水平渐近线．如前两个例子一样，这两个函数的图像关于直线 $y=x$ 是对称的．
 ![图片](/uploads/2025-01/03d22b.jpg)
 
 **例题3．4** 将 $y=\cot x$ 限制在 $(0, \pi)$ 上时为严格单调减少，从而有反函数，即反余切函数 $y=\operatorname{arccot} x$ ，其定义域为 $(-\infty,+\infty)$ ，值域为 $(0, \pi)$ ，而且也严格单调减少．当 $x \rightarrow \pm \infty$ 时分别有水平渐近线 $y=0$ 和 $y=\pi$ ．

在图3．5中用实线作出反余切函数的图像，用虚线作出限制后的余切函数的图像和水平渐近线 $y=\pi$ ．这两个图像关于直线 $y=x$ 是对称的．
 ![图片](/uploads/2025-01/f2c917.jpg)

其他版本
【高中数学】反余弦函数【高中数学】反正弦函数

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