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反函数

## 反函数
在 $\S 3.1$ 中介绍了如何从一一映射产生逆映射．将这些概念用于函数，就可以得到从 $f$ 出发产生反函数的运算．

对于定义域为 $X$ 的函数 $f$ ，则当值域 $f(X)$ 中的每个数 $y=f(x)$ 只有惟一原象 $x$ 时，就存在从 $f(X)$ 到 $X$ 的映射，称为 $f$ 的反函数，并记为

$$
\begin{aligned}
& f^{-1}: Y=f(X) \rightarrow X, \\
& y \mapsto x=f^{-1}(y)
\end{aligned}
$$

这时反函数 $f^{-1}$ 是从 $f$ 的值域到它的定义域 $X$ 的一一映射．
与逆映射的一般情况完全相同，对于每个 $x \in X$ ，成立 $f^{-1}[f(x)]=x$ ，同时对于每个 $y \in f(X)$ ，成立 $f\left[f^{-1}(y)\right]=y$ 。

注 由于我们往往习惯于将自变量记为 $x$ ，将因变量记为 $y$ ，因此在 $f$ 存在反函数 $f^{-1}$ 时，我们经常说 $y=f^{-1}(x)$ 是 $y=f(x)$ 的**反函数**．

例如，在定义域 $[0,+\infty)$ 上的函数 $y=x^2$ 有反函数 $y=\sqrt{x}$ ．这时反函数的图像是由满足 $x=f(y)$的点全体所成集合．从定义 3.4 来看，由于点 $(a, b)$ 与点 $(b, a)$ 关于直线 $x=y$ 对称，因此可知

> $y=f(x)$ 及其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 是对称的．

现在给出存在反函数的一个常用的充分条件．为此需要给出一元实函数的单调性和严格单调性概念。

## 单调增加函数

定义 3.5 设一元实函数 $f$ 的定义域为 $X$ ，若对于每一对 $x_1, x_2 \in X$ ，只要有 $x_1<x_2$ ，就成立

$$
f\left(x_1\right) \leqslant f\left(x_2\right)
$$

则称 $f$ 为 $X$ 上的单调增加函数；如果可以将上式中的 $\leqslant$ 换为 $<$ ，则称 $f$ 为 $X$ 上的严格单调增加函数．类似地，在将上式中的 $\leqslant$ 改为 $\geqslant$ 或 $>$ 时就得到单调减少函数或严格单调减少函数．又将（严格）单调增加函数与（严格）单调减少函数这两类具有不同单调性质的函数统称为（严格）单调函数．

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