最后更新: 2025-03-14 17:51 查看: 257 次纠错评论(0) 课件开VIP

函数的定义与延拓

## 一元实函数
定义域和值域均为实数集合的映射称为一元实函数，它是一元微积分的主要研究对象．今后在不加说明时所说的函数都是指一元实函数．

在第二章引入的数列当然也是一元实函数，只不过其定义域限制为正整数全体所成集合 $N$ ，此外在数列的讨论中，一般也不用 $f, f(n)$ 等记号。同样根据习惯，今后谈到一元实函数时，主要是指定义域为区间（或区间的并集）的一元实函数，而对于数列则往往＂另眼看待＂，因为它有自己的许多特点．例如，数列的定义域和值域都是离散的，主要关心的是极限问题。而对于一元实函数来说，要关心的内容多得多，从函数极限和连续性开始，它将成为一元微积分的主角．

## 3.2.1 基本概念
在中学数学课程已经遇到过许多函数，它们一般都有具体的解析表达式．我们经常将使得该表达式有意义的自变量范围称为该函数的自然定义域。例如， $y=\sqrt{1-x^2}$ 的自然定义域是 $-1 \leqslant x \leqslant 1$ ，而 $y=1 / \sqrt{1-x^2}$ 的自然定义域是 $-1<x<1$ ．对于函数概念的这种理解是与数学发展的早期历史相一致的．

随着越来越深入的研究发展，人们发现没有必要将函数和解析表达式捆邨在一起。1837年数学家 狄利克雷 Dirichlet  明确提出，为了给定一个函数并不需要给出它的解析表达式，只要对于自变量的每个 $x$ 值有惟一的 $y$ 与之对应就够了．这就是今天还在使用的现代函数概念．它的进一步发展就是 $\S 3.1$ 中的映射概念。

函数与映射可以作为同义词来看待，但在数学分析中所讨论的函数则主要有
两种：
（i）从实数集 $R$ 的某个子集到实数集的映射，称为一元实变量函数，简称为一元实函数或一元函数．这是本书在多元微积分之前的主要对象．
（ii）从 $n$ 维空间 $R ^n$ 的某个子集到实数集 $R$ 的映射，称为多元实变量函数，简称为多元函数，这是多元微积分中的主要对象．

## 3.2.2 一元实函数的定义
现在仿照映射的定义 3.1 给出一元实函数的正式定义．

**定义3.2** 设有非空实数集 $X, Y \subset R$ ，如果存在从 $X$ 到 $Y$ 的一个映射 $f$ ，也就是说，对于每个 $x \in X$ ，存在惟一的 $y \in Y$ 与之对应，用数学语言表达为：
$$
\begin{aligned}
& f: X \rightarrow Y \\
& x \mapsto y=f(x)
\end{aligned}
$$

则称 $f$ 为定义在实数集 $X$ 上的**一元函数**，简称为函数，其中的实数集 $X$ 称为函数 $f$ 的**定义域** $D (f), x$ 称为**自变量**，由 $y=f(x)$ 得到的函数值 $y$ 称为**因变量**，函数值全体所成集合称为函数 $f$ 的**值域** $R (f)$ ，即为

$$
f(X)=\{y \mid y=f(x), x \in X\} ...(3.5)
$$

**注1** 如定义3．1后的注 3 所示，定义 3.2 中的函数也称为**单值函数**，即对于定义域 $X$ 中的每个 $x \in X$ ，只有一个 $y \in Y$ 与之对应。反之，若对于 $x \in X$ 存在多于一个的 $y \in Y$ 与之对应，则称为**多值函数**．本书在今后一般只讨论单值函数．

**注2 **  为简明起见，今后在给定一个一元函数时经常简写为

$$
y=f(x), \quad x \in X  ...(3.6) 
$$

其中 $X$ 是定义域，$y=f(x)$ 是具体的对应关系。由于涉及的变量都是实数，不必写出 $Y= R$ ，而值域这时已经由定义域 $X$ 和规则 $y=f(x)$ 所确定．

**注3**  从定义 3.2 可以看出，在给定一个函数时，对于它的自变量和因变量采用什么样的符号是一个次要的问题。例如，$y=x^2, x \in R$ 和 $s=t^2, t \in R$ 给出的是同一个函数。此外，用记号 $f$ 代表函数往往比 $f(x)$ 更为合理，因为后者可能是指函数，也可能只是指函数值，容易产生混淆。虽然如此，习惯上在许多场合还是经常用 $f(x)$ 与 $y=f(x)$ 代表函数，好处是具体指明用什么记号作为自变量（与因变量）。

**注4** 根据定义 3.2 ，两个函数相等的充分必要条件是具有相同的定义域和对于定义域中的每个自变量具有相同的因变量值。与此有关的是在以下定义中的两个重要概念，它们也是今后研究函数的重要工具。

## 延拓
**定义3.3** 设给定两个函数 $f(x), x \in X_1$ 和 $g(x), x \in X_2, X_1 \subset X_2$ ，且满足

$$
\forall x \in X_1, f(x)=g(x)
$$

则称函数 $g$ 是函数 $f$ 在 $X_2$ 上的延拓，而称函数 $f$ 是函数 $g$ 在 $X_1$ 上的限制．

## 图像
在对函数的研究中，利用它的几何形象是一个重要的数学方法．为此对一元函数引入定义：

定义3．4 设函数 $f$ 的定义域为 $X$ ，则将 $R ^2$ 中的点集

$$
\{(x, y) \mid x \in X, y=f(x)\}
$$

称为函数 $y=f(x)$ 的图像（或图形）．
习惯上经常将一元函数的图像称为由 $y=f(x)$ 给出的曲线，但从后面的例题 3.8 和 3.9 中的 Dirichlet 函数和 Riemann 函数可见，它们的图像与我们平时理解的
曲线是大相径庭的．因此今后凡是提到函数 $y=f(x)$ 的曲线时，其严格的意义应当按照定义 3.4 来理解。

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