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数学分析
第三篇 函数论
函数的定义与延拓
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2025-03-14 17:51
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函数的定义与延拓
## 一元实函数 定义域和值域均为实数集合的映射称为一元实函数,它是一元微积分的主要研究对象.今后在不加说明时所说的函数都是指一元实函数. 在第二章引入的数列当然也是一元实函数,只不过其定义域限制为正整数全体所成集合 $N$ ,此外在数列的讨论中,一般也不用 $f, f(n)$ 等记号。同样根据习惯,今后谈到一元实函数时,主要是指定义域为区间(或区间的并集)的一元实函数,而对于数列则往往"另眼看待",因为它有自己的许多特点.例如,数列的定义域和值域都是离散的,主要关心的是极限问题。而对于一元实函数来说,要关心的内容多得多,从函数极限和连续性开始,它将成为一元微积分的主角. ## 3.2.1 基本概念 在中学数学课程已经遇到过许多函数,它们一般都有具体的解析表达式.我们经常将使得该表达式有意义的自变量范围称为该函数的自然定义域。例如, $y=\sqrt{1-x^2}$ 的自然定义域是 $-1 \leqslant x \leqslant 1$ ,而 $y=1 / \sqrt{1-x^2}$ 的自然定义域是 $-1<x<1$ .对于函数概念的这种理解是与数学发展的早期历史相一致的. 随着越来越深入的研究发展,人们发现没有必要将函数和解析表达式捆邨在一起。1837年数学家 狄利克雷 Dirichlet 明确提出,为了给定一个函数并不需要给出它的解析表达式,只要对于自变量的每个 $x$ 值有惟一的 $y$ 与之对应就够了.这就是今天还在使用的现代函数概念.它的进一步发展就是 $\S 3.1$ 中的映射概念。 函数与映射可以作为同义词来看待,但在数学分析中所讨论的函数则主要有 两种: (i)从实数集 $R$ 的某个子集到实数集的映射,称为一元
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