最后更新: 2025-03-14 18:30 查看: 109 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

海涅归结原理

## 4.2.1 Heine 归结原理
下面是本章的一个重要定理，即 Heine 归结原理．它建立起数列极限与函数极限之间的关系，其中的内容可以作为函数极限的第二定义。注意：对于所有类型的函数极限都有相应的归结原理，但为简明起见下面只对基本类型的函数极限的归结原理作出叙述和证明，其他情况的归结原理留作练习。

定理 4.4 （Heine 归结原理）设 $a, A$ 为有限数，则 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 的充分必要条件是对于满足 $x_n \neq a \forall n, \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 的每一个数列 $\left\{x_n\right\}$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=A$ ．

（定理也可以写为

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A \Longleftrightarrow \forall\left\{x_n\right\}\left(x_n \neq a \forall n, x_n \rightarrow a\right): \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=A
$$

在数列 $\left\{x_n\right\}$ 后的括号内是该数列必须满足的条件．）
证 必要性 $(\Longrightarrow)$ ．从 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 可知 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall 0<|x-a|<\delta$ ：

$$
|f(x)-A|<\varepsilon .
$$

现设 $\left\{x_n\right\}$ 是满足条件 $x_n \neq a \forall n$ 和 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 的一个数列，则对前面确定的 $\delta>0$ 有 $N, \forall n \geqslant N: 0<\left|x_n-a\right|<\delta$ 。

由于这个 $\delta$ 的性质是当 $0<|x-a|<\delta$ 时成立不等式（4．3），因此就知道当 $n \geqslant N$ 时可以将 $x_n$ 代入到（4．3）中而得到

$$
\left|f\left(x_n\right)-A\right|<\varepsilon
$$

这就证明了 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=A$ ．

充分性 $(\Longleftarrow)$ ．用反证法．设在定理的条件满足时 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 不成立 ${ }^{(1)}$ ．
用对偶法则（见 $\S 1.4$ 的定理 1．6），即先将 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 的定义用逻辑符号写出为

$$
\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x(0<|x-a|<\delta):|f(x)-A|<\varepsilon,
$$

然后将量词 $\forall$ 与 $\exists$ 对换，并否定其最后一句，这样就得到 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 的否定说法的肯定叙述为

$$
\exists \varepsilon_0>0, \forall \delta>0, \exists x(0<|x-a|<\delta):|f(x)-A| \geqslant \varepsilon_0
$$

现对于 $\delta_n=\frac{1}{n}$ ，将相应的 $x

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：其他类型函数极限的定义

下一篇：函数极限的四则运算与夹逼准则

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)