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海涅归结原理

## 4.2.1 Heine 归结原理
下面是本章的一个重要定理，即 Heine 归结原理．它建立起数列极限与函数极限之间的关系，其中的内容可以作为函数极限的第二定义。注意：对于所有类型的函数极限都有相应的归结原理，但为简明起见下面只对基本类型的函数极限的归结原理作出叙述和证明，其他情况的归结原理留作练习。

定理 4.4 （Heine 归结原理）设 $a, A$ 为有限数，则 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 的充分必要条件是对于满足 $x_n \neq a \forall n, \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 的每一个数列 $\left\{x_n\right\}$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=A$ ．

（定理也可以写为

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A \Longleftrightarrow \forall\left\{x_n\right\}\left(x_n \neq a \forall n, x_n \rightarrow a\right): \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=A
$$

在数列 $\left\{x_n\right\}$ 后的括号内是该数列必须满足的条件．）
证 必要性 $(\Longrightarrow)$ ．从 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 可知 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall 0<|x-a|<\delta$ ：

$$
|f(x)-A|<\varepsilon .
$$

现设 $\left\{x_n\right\}$ 是满足条件 $x_n \neq a \forall n$ 和 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 的一个数列，则对前面确定的 $\delta>0$ 有 $N, \forall n \geqslant N: 0<\left|x_n-a\right|<\delta$ 。

由于这个 $\delta$ 的性质是当 $0<|x-a|<\delta$ 时成立不等式（4．3），因此就知道当 $n \geqslant N$ 时可以将 $x_n$ 代入到（4．3）中而得到

$$
\left|f\left(x_n\right)-A\right|<\varepsilon
$$

这就证明了 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=A$ ．

充分性 $(\Longleftarrow)$ ．用反证法．设在定理的条件满足时 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 不成立 ${ }^{(1)}$ ．
用对偶法则（见 $\S 1.4$ 的定理 1．6），即先将 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 的定义用逻辑符号写出为

$$
\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x(0<|x-a|<\delta):|f(x)-A|<\varepsilon,
$$

然后将量词 $\forall$ 与 $\exists$ 对换，并否定其最后一句，这样就得到 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 的否定说法的肯定叙述为

$$
\exists \varepsilon_0>0, \forall \delta>0, \exists x(0<|x-a|<\delta):|f(x)-A| \geqslant \varepsilon_0
$$

现对于 $\delta_n=\frac{1}{n}$ ，将相应的 $x$ 记为 $x_n$ ，它满足条件
$$
0<\left|x_n-a\right|<\delta_n=\frac{1}{n} ...(4.4)
$$

且同时成立

$$
\left|f\left(x_n\right)-A\right| \geqslant \varepsilon_0 . ...(4.5)
$$

对每个 $n$ 都这样做，就得到一个数列 $\left\{x_n\right\}$ ．由条件（4．4）可知它满足归结原理中的两个条件：

$$
\forall n, x_n \neq a, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a
$$

但从（4．5）则知不可能成立 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=A$ ．这与定理的条件相矛盾．
可以将归结原理改进为下列加强形式，它的使用更为方便．

> 推论（归结原理的加强形式）存在极限 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 的充要条件是 $\forall\left\{x_n\right\}\left(x_n \neq\right.$ $\left.a \forall n, x_n \rightarrow a\right)$ ，存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)$ ．

证 必要性 $(\Longrightarrow)$ 。用归结原理的必要性即可。
充分性 $(\Longleftarrow)$ 。用反证法．假设存在满足条件的两个数列 $\left\{y_n\right\}$ 和 $\left\{z_n\right\}$ ，但有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(y_n\right)=A \neq \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(z_n\right)=B
$$

则可对 $\forall k$ ，令 $x_{2 k-1}=y_k, x_{2 k}=z_k$（参见 $\S 2.1$ 练习题 6 ），从而得到一个新的数列 $\left\{x_n\right\}$ ．根据定理 2.26 ，即数列收玫的充要条件是它的奇数项子列和偶数项子列收玫于同一极限，可见它满足 $x_n \neq a \forall n, x_n \rightarrow a$ ，但 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 不收玫，引出矛盾．
从本节的以下内容可以看到 Heine 归结原理有许多重要应用．如前所说，它相当于在数列极限和函数极限之间架起了一座桥梁．这样就可以将第二章的许多重要定理非常方便地推广到函数极限中来，同时又可以使得在今后的函数极限中得到的成果为第二章中的许多问题提供了方便的工具．在这一小节先举一些例子．
（1）第一类应用是用于证明某些函数极限不存在．这与用子列基本定理证明数列发散完全类似。（参见定理 2.25 ，它的两个推论和例题 2．42．）

这就是利用 Heine 归结原理的必要性的逆否命题．它表明，只要找到两个数列 $\left\{x_n^{\prime}\right\}$ 和 $\left\{x_n^{\prime \prime}\right\}$ ，满足条件 $x_n^{\prime} \neq a \forall n, x_n^{\prime \prime} \neq a \forall n$ ，且成立 $x_n^{\prime} \rightarrow a, x_n^{\prime \prime} \rightarrow a$ ，但对应的两个函数值所成数列 $\left\{f\left(x_n^{\prime}\right)\right\}$ 和 $\left\{f\left(x_n^{\prime \prime}\right)\right\}$ 的极限或不全存在，或都存在但不相等，则函数极限 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 不存在．

**例题 4.9** 证明：函数极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}$ 不存在．
证 观察图 4.5 中函数 $y=\sin \frac{1}{x}$ 的图像．它在 $x=0$ 处无定义，是奇函数．因此只要看 $x>0$ ．

从函数表达式可以看到使得 $\sin \frac{1}{x}$ 达到最大值 1 的自变量值是 $\frac{1}{2 n \pi+\frac{\pi}{2}}$ ，其中 $n$ 取所有非负整数．将它取为 $x_n^{\prime}$ ，就得到正数列 $\left\{x_n^{\prime}\right\}$ ，它收玫于 0 ，但 $f\left(x_n^{\prime}\right)=1 \forall n$ ，因此 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n^{\prime}\right)=1$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/519deb.jpg)
 类似地取 $x_n^{\prime \prime}=\frac{1}{2 n \pi} \forall n$ ，则又得到一个正数列 $\left\{x_n^{\prime \prime}\right\}$ ，它也收玫于 0 ，但 $f\left(x_n^{\prime \prime}\right)=0 \forall n$ ，因此 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n^{\prime \prime}\right)=0$ 。

根据 Heine 归结原理的必要性的逆否命题可知极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}$ 不存在。
（2）下面一个例题表明如何用 Heine 归结原理计算某些函数极限．

**例题 4.10** 已知存在极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}(a \sin x+b \cos x)$ ，证明 $a=b=0$ ．
证 这时根据与极限过程 $x \rightarrow+\infty$ 相应的 Heine 归结原理，对于每一个发散于 $+\infty$ 的数列 $\left\{x_n\right\}$ ，对应的数列 $\left\{a \sin x_n+b \cos x_n\right\}$ 都收敛．

取 $x_n=n \pi \forall n$ ，则

$$
a \sin x_n+b \cos x_n=b(-1)^n
$$

可见只能有 $b=0$ ．
类似地再取 $x_n=\left(n+\frac{1}{2}\right) \pi$ ，则可得到 $a=0$ 。
注 此题也可以用三角学知识求解．用反证法．在 $a, b$ 不全为 0 时可以写出

$$
a \sin x+b \cos x=\sqrt{a^2+b^2} \sin (x+\phi)
$$

其中 $\phi$ 是由 $a, b$ 确定的一个常数，因此这个函数是在 -1 到 1 之间摆动的周期 $2 \pi$的函数，当 $x \rightarrow+\infty$ 时不可能有极限．
（3）Heine 归结原理的另一类应用是将求数列极限的问题归结为求函数极限的问题，如果后者已知的话．例如下面是两个简单例子：

$$
\begin{gathered}
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}=0 \Longrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0 \\
\lim _{x \rightarrow 0} a^x=a^0=1 \Longrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1(a>0)
\end{gathered}
$$

虽然目前暂时还没有多少函数极限是已知的，但随着学习的进展，我们会学到求函数极限的许多有力方法（例如在微分学中的 L＇Hospital 法则），因此往往可能将求数列极限的某些问题转化为求函数极限而得到解决。
（4）将 Heine 归结原理应用于函数的连续性定义 4.2 ，就得到以下定理，其中的内容可以作为连续性的第二定义．其证明留作练习题。
 
## 函数连续的第二定义
定理 4.5 （函数连续的第二定义）函数 $f$ 于点 $a$ 连续的充分必要条件是对于收玫于 $a$ 的每一个数列 $\left\{x_n\right\}$ ，对应的函数值所成数列 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收玫于 $f(a)$ ．用逻辑符号写出就是：
$f$ 于点 $a$ 连续 $\Longleftrightarrow \forall\left\{x_n\right\}\left(\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a\right): \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=f(a)$ ．

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