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其他类型函数极限的定义

## 4.1.4  其他类型函数极限的定义
以基本类型的函数极限 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 为模板，就容易得到其他函数极限．这时 $x \rightarrow a$ 可以换为 $x \rightarrow a^{+}, x \rightarrow a^{-}, x \rightarrow+\infty$ 和 $x \rightarrow-\infty$ ，即有 5 种不同类型的极限过程．另一方面，$A$ 为有限数时的正常极限还可以换为非正常极限 $+\infty$ 和 $-\infty$ ，于是因变量的趋势就有 3 种可能性。

这样就有 15 种不同类型的函数极限，其中包括正常极限和非正常极限在内．
注 在有的书中对于自变量变化的极限过程还特地多列出一种 $x \rightarrow \infty$ ，它就是 $|x| \rightarrow+\infty$ ，这在有时会带来方便．在本书中特作如下规定：

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A \Longleftrightarrow \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=A=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x), ...(4.1)
$$

而不将 $x \rightarrow \infty$ 列为另一种极限过程。

此外在有的书中对因变量的变化也多列出一种 $A=\infty$ ，它就是 $\lim _{x \rightarrow a}|f(x)|=$ $+\infty$ ，在本书中对此也不单独列出。今后一般只使用带有确定符号的无穷大记号 $+\infty$ 和 $-\infty$ ，或将它们统记为 $\infty$ 。（注意定义 2.7 中关于记号 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 有意义的规定对于函数极限也适用．）

于是可以模仿基本类型的函数极限中的定义 4.1 写出以上所说的 15 种不同类型的函数极限的数学定义，只是需要作以下修改。

从自变量方面来看，定义 4.1 中所用的去心邻域 $0<|x-a|<\delta$ 应修改如下：
对于 $x \rightarrow a^{+}$，改用 $a<x<a+\delta$ ，或 $0<x-a<\delta$ ，或 $x \in(a, a+\delta)$ ；
对于 $x \rightarrow a^{-}$，改用 $a-\delta<x<a$ ，或 $-\delta<x-a<0$ ，或 $x \in(a-\delta, a)$ ；
对于 $x \rightarrow+\infty$ ，改用 $x>M>0$ ；
对于 $x \rightarrow-\infty$ ，改用 $x<0$ ，且 $|x|>M>0$ ，或 $x<-M<0$ ．

从因变量方面来看，定义 4.1 中的 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 应当如数列情况那样修改为
对于 $A=+\infty$ ，改为 $x>G>0$ ；
对于 $A=-\infty$ ，改为 $x<-G<0$ ．
此外还经常使用一些更为简便的函数极限记号．对于有限数 $a$ ，记

$$
f\left(a^{+}\right)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \quad f\left(a^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x),
$$

对于 $x$ 趋于无穷大的情况，记

$$
f(+\infty)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x), \quad f(-\infty)=\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)
$$

注 这里必须强调，记号 $f\left(a^{+}\right), f\left(a^{-}\right), f(+\infty), f(-\infty)$ 都是函数极限的简写记号，并不是 $f$ 在某点的函数值．

前面在图 4.1 之后已经写出了 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 的定义．下面写出 15 种函数极限中的 3 种函数极限的定义，请读者试写出几种其他极限的定义。

首先写出当 $x \rightarrow-\infty$ 时 $f(x)$ 是正无穷大量的定义：

$$
\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty \Longleftrightarrow \forall G>0, \exists M>0, \forall x<-M: f(x)>G
$$

然后写出两种单侧极限的定义，其中设 $A$ 为有限数．

$$
\begin{gathered}
\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall a<x<a+\delta:|f(x)-A|<\varepsilon \\
\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=A \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall a-\delta<x<a:|f(x)-A|<\varepsilon
\end{gathered}
$$

下面指出在 $x \rightarrow a$ 和 $x \rightarrow a^{ \pm}$的函数极限之间的关系．
设 $a \in R$ ，则与 $a$ 有关的函数极限类型有极限 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 和两个单侧极限 $f\left(a^{+}\right)$与 $f\left(a^{-}\right)$，同时这些极限值可以是有限数，也可以是正负无穷大．

**定理 4.3** $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$（有限数或正负无穷大）$\Longleftrightarrow f\left(a^{+}\right)=f\left(a^{-}\right)=A$ ．
证 只写出当 $A$ 为有限数时的证明，其余留作练习题．
必要性 $(\Longrightarrow)$ ．从 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 知道对于 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta, \forall 0<|x-a|<\delta$ ：

$$
|f(x)-A|<\varepsilon
$$

于是在 $a<x<a+\delta$ 时（4．2）也成立，这表明有 $f\left(a^{+}\right)=A$ ；又在 $a-\delta<x<a$ 时 （4．2）也成立，因此又有 $f\left(a^{-}\right)=A$ 。

充分性 $(\Longleftarrow)$ ．从 $f\left(a^{+}\right)=A$ 知道对于 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_1>0, \forall a<x<a+\delta_1$ ： $|f(x)-A|<\varepsilon$ ．又从 $f\left(a^{-}\right)=A$ 知道对于 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_2>0, \forall a-\delta_2<x<a$ ： $|f(x)-A|<\varepsilon$ ．

取 $\delta=\min \left\{\delta_1, \delta_2\right\}$ ，则当 $0<|x-a|<\delta$ 时，也就是当 $a-\delta<x<a+\delta$ 时，成立 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ．这就证明了 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ ．
回顾在 §4．1．1 中提到的函数，如单位跳跃函数 $H(x)$（例题 4．1），符号函数 $\operatorname{sgn} x$ （例题 3．7），它们在点 0 处的极限不存在，但是两个单侧极限存在而不相等．

再举几个例题．

**例题 4.7** 证明 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x}=+\infty$ ．
证 对 $\forall G>0$ ，取 $\delta=\frac{1}{G}$ ，则在 $0<x<\delta$ 时，就有 $f(x)=\frac{1}{x}>G$ ，这就证明了所要的结论．

**例题 4.8** 证明 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}$ ．
证 要证明对 $\forall \varepsilon>0, \exists M>0, \forall x>M:\left|\arctan x-\frac{\pi}{2}\right|<\varepsilon$ 。
对于 $x \rightarrow+\infty$ 的极限过程，一开始就不妨设 $x>0$ ．由于在 $x>0$ 时有 $0<\arctan x<\frac{\pi}{2}$ ，因此 $\left|\arctan x-\frac{\pi}{2}\right|<\varepsilon \Longleftrightarrow 0<\frac{\pi}{2}-\arctan x<\varepsilon$ ．

由此可见，若 $\varepsilon \geqslant \frac{\pi}{2}$ 则已经没有问题．而当 $\varepsilon<\frac{\pi}{2}$ 时则有

$$
\begin{aligned}
\left|\arctan x-\frac{\pi}{2}\right|<\varepsilon & \Longleftrightarrow \arctan x>\frac{\pi}{2}-\varepsilon>0 \\
& \Longleftrightarrow x>\tan \left(\frac{\pi}{2}-\varepsilon\right)>0 \\
& \Longleftrightarrow x>\cot \varepsilon>0
\end{aligned}
$$

其中利用了 $\tan x$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的严格单调性．于是就只要

$$
x>M=\max \{0, \cot \varepsilon\},
$$

就可以满足要求．

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