最后更新: 2025-03-14 18:30 查看: 19 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

函数极限的四则运算与夹逼准则

## 4.2.2  函数极限的四则运算法则
这些法则是数列极限的四则运算法则（见定理 2．6）的平行推广．原则上有两种方法可用于证明这些法则。
（1）学习数列极限中关于四则运算法则的证明方法，如法炮制．
（2）用 Heine 归结原理将问题直接归之于数列极限中的四则运算法则．
以加法运算为例，对于 $a, A$ 均为有限数的基本类型函数极限可以用 Heine 归结原理证明并图示如下。

$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=B, \\
& \Downarrow \quad \text { (Heine 归结原理的必要性) } \\
& \forall\left\{x_n\right\}\left(x_n \neq a \forall n, x_n \rightarrow a\right): \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=A, \lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_n\right)=B \\
& \Downarrow \quad \text { (用收玫数列的加法法则) } \\
& \forall\left\{x_n\right\}\left(x_n \neq a \forall n, x_n \rightarrow a\right): \lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(x_n\right)+g\left(x_n\right)\right]=A+B \\
& \Downarrow \quad \text { (Heine 归结原理的充分性) } \\
& \lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)]=A+B .
\end{aligned}
$$

对其余法则的证明留作练习题．

## 4.2.3 函数极限的夹逼定理
这里只叙述关于基本类型的函数极限的夹逼定理（也称两面夹定理等）．
定理 4.6 （函数极限的夹逼定理）设函数 $h, f, g$ 在点 $a$ 的某一个去心邻域上有定义，且成立不等式

$$
h(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x),
$$

又设函数 $h, g$ 当 $x \rightarrow a$ 时存在极限且相等，即有

$$
\lim _{x \rightarrow a} h(x)=\lim _{x \rightarrow a} g(x)=A,
$$

则函数 $f$ 当 $x \rightarrow a$ 也存在极限且等于 $A$ ，即有 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ ．
上述夹逼定理的证明与上一小节的四则运算法则一样，原则上有两个方法．对于其他类型的函数极限也有相应的夹逼定理，留作练习题．

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