最后更新: 2025-03-14 18:30 查看: 137 次纠错评论(0) 课件开VIP

函数极限的四则运算与夹逼准则

## 4.2.2  函数极限的四则运算法则
这些法则是数列极限的四则运算法则（见定理 2．6）的平行推广．原则上有两种方法可用于证明这些法则。
（1）学习数列极限中关于四则运算法则的证明方法，如法炮制．
（2）用 Heine 归结原理将问题直接归之于数列极限中的四则运算法则．
以加法运算为例，对于 $a, A$ 均为有限数的基本类型函数极限可以用 Heine 归结原理证明并图示如下。

$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=B, \\
& \Downarrow \quad \text { (Heine 归结原理的必要性) } \\
& \forall\left\{x_n\right\}\left(x_n \neq a \forall n, x_n \rightarrow a\right): \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=A, \lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_n\right)=B \\
& \Downarrow \quad \text { (用收玫数列的加法法则) } \\
& \forall\left\{x_n\right\}\left(x_n \neq a \forall n, x_n \rightarrow a\right): \lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(x_n\right)+g\left(x_n\right)\right]=A+B \\
& \Downarrow \quad \text { (Heine 归结原理的充分性) } \\
& \lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)]=A+B .
\end{aligned}
$$

对其余法则的证明留作练习题．

## 4.2.3 函数极限的夹逼定理
这里只叙述关于基本类型的函数极限的夹逼定理（也称两面夹定理等）．
定理 4.6 （函数极限的夹逼定理）设函数 $h, f, g$ 在点 $a$ 的某一个去心邻域上有定义，且成立不等式

$$
h(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x),
$$

又设函数 $h, g$ 当 $x \rightarrow a$ 时存在极限且相等，即有

$$
\lim _{x \rightarrow a} h(x)=\lim _{x \rightarrow a} g(x)=A,
$$

则函数 $f$ 当 $x \rightarrow a$ 也存在极限且等于 $A$ ，即有 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ ．
上述夹逼定理的证明与上一小节的四则运算法则一样，原则上有两个方法．对于其他类型的函数极限也有相应的夹逼定理，留作练习题．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：海涅归结原理

下一篇：两个重要极限

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)