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数学分析
第三篇 函数论
黎曼函数
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2025-03-14 17:59
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黎曼函数
## 黎曼函数 例题 3.9 （Riemann 函数）定义域为 $X= R$ ，从 $x$ 到 $y$ 的对应规则如下： $$ y=R(x)= \begin{cases}\frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q}(p, q \text { 为互素的整数, } q>0), \\ 1, & x=0, \\ 0, & x \text { 为无理数. }\end{cases} $$ 从 Riemann 函数的定义可知，它是周期为 1 的周期函数．在所有无理点处 Riemann 函数取值为 0 。由于不可能在 $x$ 轴上将它们正确地表示出来，因此在图3．10的示意图中，采用与图3．9的相同方法，在 $x$ 轴中稠密地分布有不可列个无理点（黑点），在该处 $R(x)=0$ 。 对于 $x \in[0,1]$ 为有理数的情况，在图3．10中作出了 $x=p / q$ 当 $q$ 在 $1-20$范围的所有点． 
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