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数学分析
第三篇 函数论
符号函数与狄利克雷函数
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2025-03-14 17:58
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符号函数与狄利克雷函数
## 符号函数 例题 3.7 （符号函数）定义域为 $X= R$ ，从 $x$ 到 $y$ 的对应规则如下： $$ y=\operatorname{sgn}(x)=\left\{\begin{aligned} -1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ 1, & x>0 \end{aligned}\right. $$ 其图形见图 3．8，它是奇函数．  ## 狄利克雷函数 例题 3.8 （Dirichlet 函数）定义域为 $X= R$ ，从 $x$ 到 $y$ 的对应规则如下： $$ y=D(x)= \begin{cases}1, & x \text { 为有理数, } \\ 0, & x \text { 为无理数. }\end{cases} $$ 图3．9只是示意图．可以想象在 $x$ 轴上稠密地分布有不可列个无理点（黑点），  在该处 $D(x)=0$ ；又想象在直线 $y=1$ 上稠密地分布有可列个点（黑点），它们的横坐标为有理数，在该处 $D(x)=1$ ． 可以看出，Dirichlet 函数是偶函数，又是周期函数．它以每个正有理数为它的周期．于是我们发现，作为周期函数的 Dirichlet 函数没有最小周期．这一点与过去中学数学中见到过的周期函数（除了常值函数之外）都不相同，也是在周期函数的定义中看不出的现象． 注 这个函数是 Dirichlet 于 1829 年提出来的，它的定义方式和图像与人们对于函数的传统认识完全不同．以前总认为函数应由解析表达式定义，它的图像应是光滑的曲线．因此可以说 Dirichlet 函数的发现是诞生现代的函数概念的标志．在此后不久，Dirichlet 就于 1837 年正式发表了我们今天使用的函数概念。
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