最后更新: 2025-03-15 09:06 查看: 131 次反馈刷题

导数的概念与定义

## 导数的概念与定义
数学分析的主要对象就是函数．对于函数 $y=f(x)$ 来说，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量．导数概念来自于研究 $y$ 对于 $x$ 的变化率．那么什么是变化率呢？

现在观察一个简单例子 $y=a x+b$ ，并同时利用图 6.1 观察其变化率．
 ![图片](/uploads/2025-02/4fb438.jpg)
 
 设有线性函数 $y=a x+b$ ，则当自变量 $x$ 变为 $x+\Delta x$ 时，称 $\Delta x$ 为 $x$ 的增量．这引起因变量 $y$ 从 $y=a x+b$ 变为 $a(x+\Delta x)+b=a x+b+a \Delta x$ ，因此 $y$的增量是 $\Delta y=a \Delta x$ ，它是 $x$ 的增量的 $a$ 倍。我们将两者之比 $a$ 定义为因变量 $y$ 关于自变量 $x$ 的变化率。

以上内容可以用计算公式表示如下：
$$
\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{a(x+\Delta x)+b-(a x+b)}{(x+\Delta x)-x}=\dfrac{a \Delta x}{\Delta x}=a . ...(6.1)
$$

这就是线性函数 $y=a x+b$ 的 $y$ 对于 $x$ 的变化率 $a$ ，也就是在图 6.1 中直线 $y=a x+b$ 的斜率．（今后会知道 $y=a x+b$ 对 $x$ 的导数就等于 $a$ ．）

一种特殊情况是 $a=0$ ．这时函数 $y=b$ 为常值函数，它的变化率是 0 ．
线性函数的变化率是常数，这表明不论从哪一个自变量值 $x_0$ 出发计算 $x$ 的增量和由此引起的 $y$ 的增量，所得到的变化率与 $x_0$ 没有关系。

注 在（6．1）中假设 $\Delta x \neq 0$ 在数学上是必要的．否则分子分母都是 0 ，分式就没有意义。同时我们又可以说这个假设也是合理的。如果 $\Delta x=0$ ，即自变量没有变化，则因变量也没有变化，这时不需要计算什么变化率。

接下来的问题就是，对于比线性函数复杂的其他函数 $y=f(x)$ ，如何定义并计算 $y$ 关于 $x$ 的变化率？这就是微分学要解决的问题．

下面从运动学中的速度和几何学中曲线的切线出发讨论一般意义上的变化率．

## 6.1.1 变化率问题（导数概念的物理来源）
设 $Q(t)$ 是随时间而变化的一个物理量，则什么是它的变化率？
最简单的例子还是中学物理中的质点直线运动，设其路程 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s=s(t)$ ，则路程关于时间的变化率就是速度。

现在我们比较仔细地分析一下速度概念．对于匀速运动，速度 $v=\frac{s}{t}$ 是容易理解的．对于非匀速运动，则就比较复杂了．这里首先需要引入平均速度的概念．

平均速度可记为 $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ ，其中

$$
\Delta s=s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right), \quad \Delta t=\left(t_0+\Delta t\right)-t_0
$$

这就是从某个时刻 $t_0$ 起在时间长度 $\Delta t$ 内经过的路程 $\Delta s$ 除以 $\Delta t$ 得到的商（今后经常称为差商），它代表了这一段时间上的平均速度。

显然从 $t_0$ 到 $t_0+\Delta t$ 这一段时间上的运动也未必是匀速运动，于是如何刻画运动的问题仍然没有解决．当然可以将一段时间分割成许多段，每一段时间上求出一个平均速度，这就是对于质点直线运动的一种近似描述，但不是精确描述．

为了作出精确的描述，用函数极限的语言来说，就是需要令 $\Delta t \rightarrow 0$ 而求差商的极限，即是

$$
\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}
$$

它也可写为

$$
\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}
$$

或者

$$
\lim _{t \rightarrow t_0} \frac{s(t)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}
$$

如果这个极限存在，则就称它为在时刻 $t_0$ 的速度，记为 $v\left(t_0\right)$ ．
容易看出，这里遇到了 $\frac{0}{0}$ 型的不定式．如果只从差商 $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ 来看，当 $\Delta t \neq 0$ 时，当然只能得到平均速度．而当 $\Delta t=0$ 时，则 $\frac{0}{0}$ 根本没有意义．因此只有从数学上给出了极限的严格定义之后才解决了速度的定义问题，使得在某一个时刻的速度，所谓瞬时速度，成为有意义的概念。

对一般变量的变化率也可以作如此理解。例如速度对时间的变化率就是加速度，电量对时间的变化率就是电流等等，但其中的自变量不一定是时间．

下面用一个例子说明从平均速度到真正的速度（即瞬时速度）概念上的飞跃是如何通过极限而具体完成的。

**例题 6.1** 设有自由落体运动的路程与时间之间的规律 $s=\frac{1}{2} g t^2$ ，其中 $g$ 为重力加速度常数，求在第一秒结束时的速度．

解 考虑从时间 $t_0=1$ 到 $t=t_0+\Delta t$ 这一段时间上的平均速度，其中不妨设 $\Delta t>0$ ．根据平均速度的定义，有

$$
\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\frac{g}{2}\left[(1+\Delta t)^2-1\right]}{\Delta t}=g+\frac{g}{2} \Delta t
$$

可见取不同长度的时间段所得到的平均速度是不同的．为了尽可能精确地描述在 $t_0=1$ 时的速度，应当将 $\Delta t$ 取得尽可能小．这里就遇到一个矛盾．我们不可能取 $\Delta t=0$ ，否则就没有什么运动，也就谈不上平均速度。但是又不存在什么最小的正数，因此要将 $\Delta t$ 取得尽可能小在理论上也是做不到的．

极限概念解决了这个问题。这就是根据 $\Delta t$ 趋于 0 时上述差商明显有趋于 $g$ 的趋势，我们就定义 $t_0=1$ 时的速度为下列极限：

$$
\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left(g+\frac{g}{2} \Delta t\right)=g
$$

这就是自由落体运动在第一秒结束时的速度，它近似等于每秒 9.8 米．

## 6.1.2 切线问题（导数概念的几何来源）
如何定义一般曲线的切线？
圆的切线可以定义为与圆恰好交于一个点的直线．但要将这个定义推广到任意曲线上去是不行的．例如，抛物线 $y=x^2$ 与 $x$ 轴和 $y$ 轴都只交于一个点，但 $y$ 轴，即直线 $x=0$ ，显然不是切线．古希腊人在定义圆锥曲线的切线时加了一个条件，即要求曲线在切线的一侧．然而这也没有抓住切线的本质．从下面的分析可以看到，这里的困难与定义变化率时的困难是相同的，也就是遇到了极限问题．

具体来说，设给定函数 $y=f(x)$ ，并如图 6.2 作出它的图像（即曲线）．考虑曲线上的点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ ，其中 $y_0=f\left(x_0\right)$ ，问题就是如何作出该曲线在点 $M_0$ 的切线．

在微积分学的发展过程中曾经提出过寻找切线的多种方法，下面只介绍现代的方法．这就是取 $\Delta x \neq 0$ ，考虑曲线上的另一个点 $M\left(x_0+\Delta x, f\left(x_0+\Delta x\right)\right)$ ，联接点 $M_0$ 和 $M$ 得到曲线的割线，然后观察当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时割线位置的变化．

如图 6.2 所示，其中的曲线就是 $y=$ $f(x)$ ．点 $M_0$ 的坐标为 $\left(x_0, y_0\right), y_0=$ $f\left(x_0\right)$ ．同时又标出点 $M_i\left(x_i, y_i\right)$ ，其中 $y_i=f\left(x_i\right), i=1,2,3$.

作出联结 $M_0$ 与 $M_i(i=1,2,3)$ 的三条割线，它们都通过点 $M_0$ ．当曲线上的流动点沿着曲线经过点 $M_1, M_2, M_3$趋于点 $M_0$ 时，割线以 $M_0$ 为固定点而转动．如图所示，它确实有极限位置．

![图片](/uploads/2025-02/f36310.jpg)

在图 6.2 中这个极限位置由一条直线 $M_0 T$ 表示，我们就将它定义为曲线在点 $M_0$ 的切线．将它与 $x$ 轴正向的夹角记为 $\theta$ ，则切线的斜率就是下列极限

$$
\tan \theta=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} ...(6.2)
$$

在（6．2）右边的分式是当自变量从 $x_0$ 变化到 $x$ 时，因变量 $y=f(x)$ 关于 $x$ 的平均变化率，也就是割线的斜率．因此这个极限过程就是割线的斜率收玫于切线的斜率．

小结 在曲线上令流动点 $M$ 趋于点 $M_0$ ，若存在极限

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}
$$

这就是割线 $M_0 M$ 当点 $M$ 趋于 $M_0$ 时存在极限位置 $M_0 T$ ，也就是角 $\angle M M_0 T$ 趋于 0 ，则称曲线 $y=f(x)$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ 存在切线，它的斜率就是上述差商的极限，记为 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ ．于是切线方程可表示为 $y=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$ ．反之，如果上述极限不存在，则称曲线 $y=f(x)$ 在点 $M_0$ 处没有切线．

注 约定只对 $y=f(x)$ 的连续点 $x_0$ 才考虑是否在曲线上的点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处存在切线，否则不定义切线．此外，从函数极限的惟一性定理（即定理 4．1）可知，按照以上方式定义的切线，如果存在，必定惟一．

其他版本
【高中数学】导数的意义-瞬时速度与图像切线【高等数学】导数的定义

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