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导数的定义

## 6.1.3 导数的定义
上面两个例子的具体背景完全不同，但所涉及到的数学问题和解决方法则完全相同．将其中的数学内容从具体问题中抽象出来，就得到导数的数学定义．

**定义 6.1** 设函数 $y=f(x)$ 于区间 $(a, b)$ 上有定义，点 $x_0 \in(a, b)$ ，称 $x-x_0=$ $\Delta x$ 为自变量 $x$ 的增量，称 $\Delta y=\Delta f=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ 为因变量 $y$ 的增量，称 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 或 $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ 为差商．若存在下列极限

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}
$$

则称此极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的导数（或微商），记为 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ ，又称函数 $f$ 在点 $x_0$ 可导。

以上是对于自变量的一个固定点 $x_0$ 来说的．如果函数 $y=f(x)$ 在某个区间内的每一点处都存在导数，则就生成了从自变量到导数的一个映射，称为 $y=f(x)$ 的导函数，记为 $f^{\prime}(x)$ ．（在不发生混淆时也经常将导函数简称为导数．）

当 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在时，定义曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的切线为

>（1）从对于差商的讨论可以看到，在第四章的函数极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 的定义中，强调 $x \neq x_0$ 是明智的做法．对于这里的差商来说，就是 $\Delta x \neq 0$ ，从而就避免了 $\frac{0}{0}$ 的困难．由此可以知道在函数极限定义中引入去心邻域的重要性。

>（2）由于符号 $x$ 与 $y$ 已经用作为函数 $f$ 的自变量和因变量，为了避免混淆，因此对于切线和下面的法线采用大写符号 $X$ 和 $Y$ 作为它们的自变量和因变量．

因为导数为 $f'(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ 进行简单的移项变形后得到

$$
Y=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(X-x_0\right)
$$

特别当导数作为差商的极限不存在，但 $f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 仍有意义的情况，即 $f^{\prime}\left(x_0\right)= \pm \infty$ 时，若 $f$ 在点 $x_0$ 连续，则定义切线为与 $y$ 轴平行的直线 $X=x_0$ ．

当 $f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0$ 时，定义曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的法线为过该点且与切线垂直的直线，即

$$
Y=f\left(x_0\right)-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_0\right)}\left(X-x_0\right)
$$

若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，则法线为与 $y$ 轴平行的直线 $X=x_0$ ．
在有了导数定义之后再回顾上一小节的（6．2），就可以看出导数的符号有重要的几何意义．根据平面解析几何中直线的倾斜角定义，当 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$ 时，切线 $Y=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(X-x_0\right)$ 的倾斜角为锐角；当 $f^{\prime}\left(x_0\right)<0$ 时，切线的倾斜角为钝角；当 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 时，则切线与 $x$ 轴平行．（参见图 6．3．）
 ![图片](/uploads/2025-02/fa51a0.jpg)
 
 考虑一个具体函数 $y=x^2$ 在任意一点 $x_0$ 处的导数．
从 $\Delta y=\left(x_0+\Delta x\right)^2-x_0^2=2 x_0 \Delta x+(\Delta x)^2$ 就可以得到

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(2 x_0+\Delta x\right)=2 x_0
$$

由此可见抛物线 $y=x^2$ 上的点 $\left(x_0, x_0^2\right)$处的切线斜率当 $x_0>0$ 时大于 0 ，当 $x_0<0$ 时则小于 0 ，而在 $x_0=0$ 时点 $(0,0)$ 处的切线与 $x$ 轴重合。

在图6．4中作出了抛物线 $y=x^2$ 上的点 $(1,1)$ 和点 $(-1,1)$ 处的两条切线．

又从切线方程 $y-x_0^2=2 x_0\left(x-x_0\right)$ 可见，它与 $y$ 轴交于点 $\left(0,-x_0^2\right)$ 。因此连接点 $\left(0,-x_0^2\right)$ 与抛物线上点 $\left(x_0, x_0^2\right)$ 的直线就是抛物线的切线．这种作抛物线切线的方法已为古希腊人所知（见［9］§3．5．1 的命题 33）．

![图片](/uploads/2025-02/8a8a8f.jpg)

## 导数的记法
由于历史的原因，数学中同时使用几种不同的导数符号．例如以下几种都是函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的导数的常用符号（在括号是提出该符号的数学家）：

$$
\begin{aligned}
& \frac{d f\left(x_0\right)}{d x},\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x_0} \quad\left(\text { Leibinz 莱布尼兹}\right) ; \\
& f^{\prime}\left(x_0\right),\left.y^{\prime}\right|_{x_0} \quad\left(\text { Lagrange 拉格朗日 }\right) ; \\
& D f\left(x_0\right),\left.D y\right|_{x_0} \quad(\text { Cauchy 柯西}) \\
& \dot{x}, \dot{y} \left( \text {Newton 牛顿 }\right)
\end{aligned}
$$

对于在一个区间（或区间的并集）上有定义的导函数则采用类似的记号：

$$
\frac{d f(x)}{d x}, \quad \frac{d y}{d x}, \quad f^{\prime}(x), \quad y^{\prime}, \quad D f(x), \quad D y
$$

此外，对于自变量是时间 $t$ 的函数 $x(t), y(t)$ 等，由 牛顿 Newton   提出的导数符号 $\dot{x}, \dot{y}$ 在今天仍然被广泛使用。

应当指出，其中最早被广泛使用的 Leibniz 的导数符号 $\frac{ d y}{d x}$ 强烈提示：导数是从差商 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 取极限而得到的．由于这个记号，也经常称导数为**微商**．

如我们在定义 6.1 中所做的那样，在本书中将较多地使用 Lagrange 的导数符号，因为它比较简明．在出现多个变量符号的场合，为了避免混淆，将使用 $f_x^{\prime}, y_x^{\prime}$ 等记号代替 $f^{\prime}, y^{\prime}$ 等以明确表示出当前是对哪一个变量求导数。

现在考虑导数定义 6.1 的推广．
若在定义 6.1 中只考虑函数 $y=f(x)$ 当自变量 $x$ 在点 $x_0$ 单侧时的变化率，则就可以得到两个单侧导数的定义．

其他版本
【高等数学】导数的定义【高中数学】导数的意义-瞬时速度与图像切线

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