最后更新: 2025-03-15 09:47 查看: 49 次反馈同步训练

导数的定义

## 6.1.3 导数的定义
上面两个例子的具体背景完全不同，但所涉及到的数学问题和解决方法则完全相同．将其中的数学内容从具体问题中抽象出来，就得到导数的数学定义．

**定义 6.1** 设函数 $y=f(x)$ 于区间 $(a, b)$ 上有定义，点 $x_0 \in(a, b)$ ，称 $x-x_0=$ $\Delta x$ 为自变量 $x$ 的增量，称 $\Delta y=\Delta f=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ 为因变量 $y$ 的增量，称 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 或 $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ 为差商．若存在下列极限

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}
$$

则称此极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的导数（或微商），记为 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ ，又称函数 $f$ 在点 $x_0$ 可导。

以上是对于自变量的一个固定点 $x_0$ 来说的．如果函数 $y=f(x)$ 在某个区间内的每一点处都存在导数，则就生成了从自变量到导数的一个映射，称为 $y=f(x)$ 的导函数，记为 $f^{\prime}(x)$ ．（在不发生混淆时也经常将导函数简称为导数．）

当 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在时，定义曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的切线为

>（1）从对于差商的讨论可以看到，在第四章的函数极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 的定义中，强调 $x \neq x_0$ 是明智的做法．对于这里的差商来说，就是 $\Delta x \neq 0$ ，从而就避免了 $\frac{0}{0}$ 的困难．由此可以知道在函数极限定义中引入去心邻域的重要性。

>（2）由于符号 $x$ 与 $y$ 已经用作为函数 $f$ 的自变量和因变量，为了避免混淆，因此对于切线和下面的法线采用大写符号 $X$ 和 $Y$ 作为它们的自变量和因变量．

因为导数为 $f'(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ 进行简单的移项变形后得到

$$
Y=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(X-x_0\right)
$$

特别当导数作为差商的极限不存在，但 $f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 仍有意义的情况，即 $f^{\prime}\left(x_0\right)= \pm \infty$ 时，若 $f$ 在点 $x_0$ 连续，则定义切线为与 $y$ 轴平行的直线 $X=x_0$ ．

当 $f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0$ 时，定义曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的法线为过该点且与切线垂直的直线，即

$$
Y=f\left(x_0\right)-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_0\right)}\left(X-x_0\right)
$$

若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，则法线为与 $y$ 轴平行的直线 $X=x_0$ ．
在有了导数定义之后再回顾上一小节的（6．2），就可以看出导数的符号有重要的几何意义．根据平面解析几何中直线的倾斜角定义，当 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$ 时，切线 $Y=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(X-x_0\right)$ 的倾斜角为锐角；当 $f^{\prime}\left(x_0\right)<0$ 时，切线的倾斜角为钝角；当 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 时，则切线与 $x$ 轴平行．（参见图 6．3．）
 ![图片](/uploads/2025-02/fa51a0.jpg)
 
 考虑一个具体函数 $y=x^2$ 在任意一

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