最后更新: 2025-03-15 09:52 查看: 22 次反馈刷题

左侧导数与右侧导数

## 左侧导数与右侧导数
左侧导数（或左导数）定义为以下极限（如果该极限存在的话）：

$$
\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\left(\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{\Delta y}{\Delta x}\right)
$$

并记为 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
右侧导数（或右导数）定义为以下极限（如果该极限存在的话）：

$$
\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\left(\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta y}{\Delta x}\right)
$$

并记为 $f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
与单侧导数概念相应地还可以定义曲线在对应点处的单侧切线．若函数在某一点的两侧都存在单侧导数，但不相等，则函数的图像在该点的每一侧都有单侧切线，该点称为角点．典型的例子就是 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处的情况．
>（1）莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646－1716），德国数学家，哲学家，和 New－ ton 同为微积分学的创建人．

>（2）拉格朗日（Joseph－Louis Lagrange，1736－1813），法国数学家和理论力学家．

>（3）牛顿（Isaac Newton，1642－1727），英国大科学家，在数学，物理学，天文学和自然哲学方面都有极其重要的贡献．其中最为人熟知的是他提出力学基本定律，发现万有引力定律，并与 Leibniz 同为微积分学的创建人．

导数的定义 6.1 只适用于函数的定义区间的内点．有了单侧导数的概念之后，就可以在属于定义区间的端点处给出函数可导的定义，于是函数在区间端点也可以有导数。例如，在有界闭区间 $[a, b]$ 上定义的函数 $f$ ，如果不仅在 $(a, b)$ 内处处可导，而且还存在 $f_{+}^{\prime}(a)$ 和 $f_{-}^{\prime}(b)$ ，就称 $f$ 在 $[a, b]$ 上可导．这时 $f$ 在端点 $a, b$ 处的导数分别规定为 $f^{\prime}(a)=f_{+}^{\prime}(a)$ 和 $f^{\prime}(b)=f_{-}^{\prime}(b)$ 。

对于定义 6.1 中 $f^{\prime}\left(x_0\right)= \pm \infty$ 的情况再作些解释．这里要指出，若 $f$ 于点 $x_0$连续，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)= \pm \infty$ ，也就是

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}= \pm \infty
$$

时，如图 6.2 中所示的割线当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时也具有极限位置，因此曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 仍然存在切线，它的方程为平行于 $y$ 轴的直线 $x=x_0$ ，即所谓垂直切线．在图6．5中给出了两个例子，就是函数

$$
y=\sqrt[3]{x} \quad \text { 和 } \quad y=\sqrt[3]{x^2}
$$

它们的图像在点 $(0,0)$ 处都有垂直切线．
 ![图片](/uploads/2025-02/c3cb49.jpg)
 
 但这两个例子并不完全相同．对于 $y=\sqrt[3]{x}$ 来说，实际上有 $f^{\prime}(0)=+\infty$ ，但对于 $y=\sqrt[3]{x^2}$ 来说，则有 $f_{-}^{\prime}(0)=-\infty$ 和 $f_{+}^{\prime}(0)=+\infty$ ，这时可记为 $f^{\prime}(0)=\infty$ ．我们将曲线 $y=\sqrt[3]{x^2}$ 上的点 $(0,0)$ 称为曲线的尖点．如果将图 6.5 中的曲线相对于坐标轴作适当旋转，而保持原点不动，则左分图中的原点就可以成为一个具有普通切线的点，但右分图中的原点仍然是尖点．

下面是导数的基本定理．它表明，前面只在连续点考虑切线存在性是合理的．
定理 6.1 若函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则必在点 $x_0$ 处连续．
由于这个结果的重要性，也为了复习一下函数极限的内容，我们给出几个证明．
证1 由于存在极限

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}
$$

将极限值记为 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ ，就有

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_0\right)+o(1)(\Delta x \rightarrow 0),
$$

将上式乘以 $\Delta x$ 即有

$$
\Delta y=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)
$$

也就是

$$
f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+o\left(x-x_0\right)\left(x \rightarrow x_0\right)
$$

这已经含有

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)
$$

证 2 这个证明来自于 $\Delta y=\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时为 $O(1) o(1)$（回顾第二章的例题 2．18），因此为无穷小量．

从存在极限 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ，用函数极限的局部有界性定理（即定理4．2），存在常数 $M>0, \delta>0, \forall 0<\left|x-x_0\right|=|\Delta x|<\delta:\left|\frac{\Delta y}{\Delta x}\right|<M$ ．对于 $\forall \varepsilon>0$ ，取

$$
\delta_1=\min \left\{\delta, \frac{\varepsilon}{M}\right\}
$$

则当 $0<\left|x-x_0\right|=|\Delta x|<\delta_1$ 时，就有

$$
\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|=|\Delta y|=\left|\frac{\Delta y}{\Delta x}\right| \cdot|\Delta x|<M \cdot \delta_1 \leqslant \varepsilon
$$

当 $x=x_0$ 时，上式左边为 0 ，不等式仍然成立．这样就证明了 $f$ 在点 $x_0$ 连续．

注 1 定理 6.1 可以推广为：若函数 $f$ 在点 $x_0$ 存在左侧（右侧）导数，则 $f$ 在点 $x_0$ 处左侧（右侧）连续．

注 2 这个定理的逆定理不成立．即从函数在某点连续不能推出函数在该处可导．这样的例子很多．

先看例题 3.5 中的绝对值函数 $f(x)=|x|$ 及其图像 3．6．这个函数在 $x=0$ 处连续，并有两个单侧导数：$f_{-}^{\prime}(0)=-1$ 和 $f_{+}^{\prime}(0)=1$ ，但 $f^{\prime}(0)$ 不存在（参见定理 4．3）．

在下一个例题中的函数是在连续点处两个单侧导数都不存在的例子．它的图像见下面的图 6．6，以及其中原点附近的放大图 6.7 （其中的虚线为 $y= \pm x$ ）．
 ![图片](/uploads/2025-02/cce1e0.jpg)
 
 例题 6.2 定义函数如下：

$$
f(x)=\left\{\begin{aligned}
x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{aligned}\right.
$$

$f$ 在点 $x=0$ 处连续．对于这个点有 $\Delta x=x-0, \Delta f=f(x)-f(0)=f(x)$,因此差商

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)}{x}=\sin \frac{1}{x}
$$

当 $x \rightarrow 0$ 时没有极限（参见例题 4．9）．从几何上看，过原点 $(0,0)$ 和 $(x, f(x))(x \neq 0)$的割线当 $x \rightarrow 0$ 时，其斜率在 -1 到 +1 之间作无限次振动，对应的割线在 $y=x$和 $y=-x$ 之间作无限次摆动，因此割线没有极限位置。

此外还可以观察较例题 6.2 更广泛的下列函数族的图像：

$$
f(x)=\left\{\begin{aligned}
x^\alpha \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{aligned}\right.
$$

其中 $\alpha$ 为参数．用图形合成法（见第三章的 §3．2．6）容易作出各种 $\alpha$ 值时的函数草图．当 $\alpha=0$ 时就是图 4．5．
注 定理 6.1 表明可导必定连续，例题 6.2 则表明连续函数可以在某个点不存在导数．但这里还有更为复杂的关系．将来在学习了无穷级数的理论之后可以构造出处处连续但处处没有导数的函数．

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【高等数学】导数的定义【高中数学】导数的意义-瞬时速度与图像切线

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