最后更新: 2025-03-15 09:52 查看: 70 次反馈同步训练

左侧导数与右侧导数

## 左侧导数与右侧导数
左侧导数（或左导数）定义为以下极限（如果该极限存在的话）：

$$
\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\left(\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{\Delta y}{\Delta x}\right)
$$

并记为 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
右侧导数（或右导数）定义为以下极限（如果该极限存在的话）：

$$
\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\left(\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta y}{\Delta x}\right)
$$

并记为 $f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
与单侧导数概念相应地还可以定义曲线在对应点处的单侧切线．若函数在某一点的两侧都存在单侧导数，但不相等，则函数的图像在该点的每一侧都有单侧切线，该点称为角点．典型的例子就是 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处的情况．
>（1）莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646－1716），德国数学家，哲学家，和 New－ ton 同为微积分学的创建人．

>（2）拉格朗日（Joseph－Louis Lagrange，1736－1813），法国数学家和理论力学家．

>（3）牛顿（Isaac Newton，1642－1727），英国大科学家，在数学，物理学，天文学和自然哲学方面都有极其重要的贡献．其中最为人熟知的是他提出力学基本定律，发现万有引力定律，并与 Leibniz 同为微积分学的创建人．

导数的定义 6.1 只适用于函数的定义区间的内点．有了单侧导数的概念之后，就可以在属于定义区间的端点处给出函数可导的定义，于是函数在区间端点也可以有导数。例如，在有界闭区间 $[a, b]$ 上定义的函数 $f$ ，如果不仅在 $(a, b)$ 内处处可导，而且还存在 $f_{+}^{\prime}(a)$ 和 $f_{-}^{\prime}(b)$ ，就称 $f$ 在 $[a, b]$ 上可导．这时 $f$ 在端点 $a, b$ 处的导数分别规定为 $f^{\prime}(a)=f_{+}^{\prime}(a)$ 和 $f^{\prime}(b)=f_{-}^{\prime}(b)$ 。

对于定义 6.1 中 $f^{\prime}\left(x_0\right)= \pm \infty$ 的情况再作些解释．这里要指出，若 $f$ 于点 $x_0$连续，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)= \pm \infty$ ，也就是

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}= \pm \infty
$$

时，如图 6.2 中所示的割线当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时也具有极限位置，因此曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 仍然存在切线，它的方程为平行于 $y$ 轴的直线 $x=x_0$ ，即所谓垂直切线．在图6．5中给出了两个例子，就是函数

$$
y=\sqrt[3]{x} \quad \text { 和 } \quad y=\sqrt[3]{x^2}
$$

它们的图像在点 $(0,0)$ 处都有垂直切线．
 ![图片](/uploads/2025-02/c3cb49.jpg)
 
 但这两个例子并不完全相同．对于 $y=\sqrt[3]{x}$ 来说，实际上有 $f^{\prime}(0)=+\infty$ ，但对于 $y=\sqrt[3]{x^2}$ 来说，则有 $f_{-}^{\prime}(0)=-\infty$ 和 $f_{+}^{\prime}(0)=+\infty$ ，这时可记为 $f^{\prime}(0)=\infty$ ．我们将曲线 $y=\sqrt[3]{x^2}$ 上的点 $(0,0)$ 称为曲线的尖点．如果将图 6.5 中的曲线相对于坐标轴作适当旋转，而保持原点不动，则左分图中的原点就可以成为一个具有普通切线的点，但右分图中的原点仍然是尖点．

下面是导数的基本定理．它表明，前面只在连续点考虑切线存在性是合理的．
定理 6.1 若函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则必在点 $x_0$ 处连续．
由于这个结果的重要性，也为了复习一下函数极限的内容，我们给出几个证明．
证1 由于存在极限

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}
$$

将极限值记为 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ ，就有

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_0\right)+o(1)(\Delta x \rightarrow 0),
$$

将上式乘以 $\Delta x$ 即有

$$
\Delta y=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)
$$

也就是

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