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初等函数求导公式

## 初等函数求导公式
6.2.1 例题
这一小节举出导数计算的简单例题．
例题 6.3 设 $c$ 为常数，证明：$c^{\prime}=0$ ．
证 这里的函数是恒等于 $c$ 的常值函数，因此对任何 $\Delta x \neq 0$ ，总有 $\Delta y=0$ ，从而差商也总是 0 ，它的极限当然是 0 。

例题 6.4 证明 $x^{\prime}=1$ ．
证 由于函数为 $y=x$ ，因此 $\Delta y=\Delta x$ ，差商始终是 1 ，极限当然就是 1 ．
例题 6.5 求自由落体运动 $s(t)=\frac{1}{2} g t^2$ 的速度 $v(t)$ 和加速度 $a(t)$ ．
解 计算如下：

$$
\begin{aligned}
v(t)=s^{\prime}(t) & =\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} g(t+\Delta t)^2-\frac{1}{2} g t^2}{\Delta t} \\
& =\frac{g}{2} \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{2 t \Delta t+\Delta t^2}{\Delta t}=\frac{g}{2} \lim _{\Delta t \rightarrow 0}(2 t+\Delta t)=g t
\end{aligned}
$$

然后再求

$$
a(t)=v^{\prime}(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{g(t+\Delta t)-g t}{\Delta t}=g
$$

注 由于函数极限定义中在求 $\Delta t \rightarrow 0$ 的极限时，不允许 $\Delta t=0$ ，因此差商的分子分母中可以约去因子 $\Delta t$ ．此外，习惯上记 $(\Delta t)^2=\Delta t^2$ ．

例题 6.6 求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的导数，并求出其图像在点 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$ 处的切线方程和法线方程。

解 先计算导数．当然只能在函数有定义的点 $x \neq 0$ 处计算：

$$
\begin{aligned}
\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime} & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{-1}{(x+\Delta x) x}=-\frac{1}{x^2}
\end{aligned}
$$

在 $x=2$ 时 $y^{\prime}(2)=-\frac{1}{4}, y(2)=\frac{1}{2}$ ．因此过图像上点 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$ 的切线方程为

$$
y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)
$$

整理后为 $x+4 y=4$ ．同样得到过点 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$ 的法线方程为

$$
y-\frac{1}{2}=4(x-2)
$$

整理后为 $4 x-y=7 \frac{1}{2}$ ．

## 6．2．2 基本初等函数的导数公式
这一小节列出了 5 个导数计算公式，都是基本初等函数的导数公式，只是后 4个三角函数和反三角函数的导数公式要到下面两个小节中得出（即公式 6,7 ）．

此外，为了能够用这些公式计算一些简单函数的导数，导数计算的线性法则还是不可缺少的，请参看下一小节的法则 1.

由前面的例题 6.3 得到第一个导数公式．
（1）$c^{\prime}=0$ ．
公式 1．常值函数的导数公式：$c^{\prime}=0$.
在前面的例题 6.4 得到 $x^{\prime}=1$ ，在例题 6.5 和 6.6 得到 $\left(x^2\right)^{\prime}=2 x$ 和 $\left(x^{-1}\right)^{\prime}=$ $-x^{-2}$ ，它们都是下面的幂函数导数公式的特例．
（2）$\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}(\alpha \neq 0, x$ 为定义域的内点．$)$
这可看成上述几个例题的结果的一般化，我们将它列为

公式 2．对实数 $\alpha \neq 0$ ，幂函数 $x^\alpha$ 的导数公式：$\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}$ ．
其中 $x$ 为幂函数定义域的内点．
证（幂函数的定义域比较复杂，参见定义 3.7 后的说明与图 3．11．）
若 $x \neq 0$ ，则有

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}=x^\alpha \cdot \frac{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^\alpha-1}{\Delta x}=x^{\alpha-1} \cdot \frac{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^\alpha-1}{\frac{\Delta x}{x}}
$$

然后利用第四章例题 4.22 的结果

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha
$$

就得到

$$
\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}=\alpha x^{\alpha-1}
$$

若 $\alpha>0$ ，则在点 $x=0$ 处有 $\Delta x=x-0=x$ ，于是有 $\Delta y=x^\alpha$ 和

$$
f^{\prime}(0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow 0} x^{\alpha-1}= \begin{cases}0, & \alpha>1 \\ 1, & \alpha=1 \\ \infty, & 0<\alpha<1\end{cases}
$$

由此可见，公式 $\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}$ 对于 $x=0$ 在 $\alpha>1$ 时仍然成立，而对于 $0<\alpha \leqslant 1$ 则可以理解为在取极限的意义上成立．

若 $\alpha>0$ 时 $x=0$ 是幂函数 $x^\alpha$ 的定义域的端点，则上述推导中的 $f^{\prime}(0)$ 应改为 $f_{+}^{\prime}(0)$ ，即该点的右导数公式．

当 $0<\alpha<1$ 时，幂函数在 $x=0$ 的导数值为无穷大．可以观察几个例子．
若 $\alpha=1 / 2$ ，则幂函数 $y=\sqrt{x}$ 定义域为 $x \geqslant 0$ ，在点 $x=0$ 处有

$$
y_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty
$$

由于 $y=\sqrt{x}$ 在点 $x=0$ 右连续，因此在该点存在垂直切线 $x=0$ ．
再看 $\alpha=2 / 3$ 时的幂函数 $y=x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^2}$ ，则 $x=0$ 是其定义域的内点．这时

$$
y^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}
$$

于是可知有 $y_{-}^{\prime}(0)=-\infty$ 和 $y_{+}^{\prime}(0)=+\infty$ ．这时如前所说，曲线 $y=x^{\frac{2}{3}}$ 在点 $(0,0)$处有切线 $x=0$（见图 6.5 右边的分图）．
（3）指数函数 $a^x(a>0)$ 的导数公式：
公式3．$\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a$ ，特别是有 $\left( e ^x\right)^{\prime}= e ^x$ ．

证 这里要求的极限是

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} .
$$

为此用变量代换 $h=a^{\Delta x}-1$ ，则

$$
h \rightarrow 0 \Longleftrightarrow \Delta x \rightarrow 0,
$$

而且 $h \neq 0 \Longleftrightarrow \Delta x \neq 0$ ，因此根据复合函数极限定理（即定理 4．10）就得到

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{\log _a(1+h)}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{\frac{\ln (1+h)}{\ln a}}=\ln a,
$$

其中利用了第四章中建立的等价关系（4．19），即 $\ln (1+x) \sim x(x \rightarrow 0)$ ．合并以上就证明了公式 3 ．
（4）对数函数的导数公式：

公式 4．$(\ln |x|)^{\prime}=\frac{1}{x}(x \neq 0)$ ．

证 在 $\ln (1+x) \sim x(x \rightarrow 0)$ 的基础上只要作如下计算：

$$
\begin{aligned}
(\ln |x|)^{\prime} & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln |x+\Delta x|-\ln |x|}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\Delta x} \\
& =\frac{1}{x} \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\frac{\Delta}{x}} \\
& =\frac{1}{x}
\end{aligned}
$$

注 对于底 $a>0$ 的一般对数函数 $\log _a x$ ，从 $\log _a x=\log _a e \cdot \ln x$ ，可见有

$$
\left(\log _a|x|\right)^{\prime}=\frac{\log _a e}{x}(x \neq 0)
$$

这表明对数函数的求导公式当取底为 $e$ 时最为简单，这是在数学中经常采用自然对数的原因。
（5）正弦函数 $\sin x$ 和余弦函数 $\cos x$ 的导数公式：
公式 5．$\quad(\sin x)^{\prime}=\cos x, \quad(\cos x)^{\prime}=-\sin x$.
证 正弦函数的求导公式在第四章的例题 4.17 已经得到证明，这里不再重复．现在推导余弦函数的求导公式．根据导数定义计算如下：

$$
\begin{aligned}
(\cos x)^{\prime} & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos (x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(-\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\right)=-\sin x .
\end{aligned}
$$

从以上两个公式出发，再利用下一小节中求导的四则运算法则就可以得到其他三角函数的导数公式（见下一小节的公式 6）．

> 完整求导公式见 [高等数学微分表与积分表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=806)

## 微分表

$C^{\prime}=0$
$ \left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1} $
$ (\sin x)^{\prime}=\cos x $
$ (\cos x)^{\prime}=-\sin x $
$ (\tan x)^{\prime}=\sec ^2 x $
$ (\cot x)^{\prime}=-\csc ^2 x $
$ (\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x $
$ (\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x $
$ \left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a $
$ \left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x $
$ \left(\log _a x\right)^{\prime}=\dfrac{1}{x \ln a} $
$ (\ln x)^{\prime}=\dfrac{1}{x} $
$ (\arcsin x)^{\prime}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} $
$ (\arccos x)^{\prime}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} $
$(\arctan x)^{\prime}=\dfrac{1}{1+x^2} $
$ (\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\dfrac{1}{1+x^2} $

$ (\operatorname{sh} x)=\operatorname{ch} x $

$ (\operatorname{ch} x)=\operatorname{sh} x $
$ (\operatorname{th} x)= \dfrac{1}{\operatorname{ch}^2 x} $
$ ( arsh x)= \dfrac{1}{ \sqrt{1+x^2}} $

$ ( arch x)= \dfrac{1}{ \sqrt{x^2-1}} $
$ ( arth x)= \dfrac{1}{ \sqrt{1-x^2}} $

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