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初等函数求导公式

## 初等函数求导公式
6.2.1 例题
这一小节举出导数计算的简单例题．
例题 6.3 设 $c$ 为常数，证明：$c^{\prime}=0$ ．
证 这里的函数是恒等于 $c$ 的常值函数，因此对任何 $\Delta x \neq 0$ ，总有 $\Delta y=0$ ，从而差商也总是 0 ，它的极限当然是 0 。

例题 6.4 证明 $x^{\prime}=1$ ．
证 由于函数为 $y=x$ ，因此 $\Delta y=\Delta x$ ，差商始终是 1 ，极限当然就是 1 ．
例题 6.5 求自由落体运动 $s(t)=\frac{1}{2} g t^2$ 的速度 $v(t)$ 和加速度 $a(t)$ ．
解 计算如下：

$$
\begin{aligned}
v(t)=s^{\prime}(t) & =\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} g(t+\Delta t)^2-\frac{1}{2} g t^2}{\Delta t} \\
& =\frac{g}{2} \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{2 t \Delta t+\Delta t^2}{\Delta t}=\frac{g}{2} \lim _{\Delta t \rightarrow 0}(2 t+\Delta t)=g t
\end{aligned}
$$

然后再求

$$
a(t)=v^{\prime}(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{g(t+\Delta t)-g t}{\Delta t}=g
$$

注 由于函数极限定义中在求 $\Delta t \rightarrow 0$ 的极限时，不允许 $\Delta t=0$ ，因此差商的分子分母中可以约去因子 $\Delta t$ ．此外，习惯上记 $(\Delta t)^2=\Delta t^2$ ．

例题 6.6 求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的导数，并求出其图像在点 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$ 处的切线方程和法线方程。

解 先计算导数．当然只能在函数有定义的点 $x \neq 0$ 处计算：

$$
\begin{aligned}
\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime} & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{-1}{(x+\Delta x) x}=-\frac{1}{x^2}
\end{aligned}
$$

在 $x=2$ 时 $y^{\prime}(2)=-\frac{1}{4}, y(2)=\frac{1}{2}$ ．因此过图像上点 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$ 的切线方程为

$$
y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)
$$

整理后为 $x+4 y=4$ ．同样得到过点 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$ 的法线方程为

$$
y-\frac{1}{2}=4(x-2)
$$

整理后为 $4 x-y=7 \frac{1}{2}$ ．

## 6．2．2 基本初等函数的导数公式
这一小节列出了 5 个导数计算公式，都是基本初等函数的导数公式，只是后 4个三角函数和反三角函数的导数公式要到下面两个小节中得出（即公式 6,7 ）．

此外，为了能够用这些公式计算一些简单函数的导数，导数计算的线性法则还是不可缺少的，请参看下一小节的法则 1.

由前面的例题 6.3 得到第一个导数公式．
（1）$c^{\prime}=0$ ．
公式 1．常值函数的导数公式：$c^{\prime}=0$.
在前面的例题 6.4 得到 $x^{\prime}=1$ ，在例题 6.5 和 6.6 得到 $\left(x^2\right)^{\prime}=2 x$ 和 $\left(x^{-1}\right)^{\prime}=$ $-x^{-2}$ ，它们都是下面的幂函数导数公式的特例．
（2）$\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}(\alpha \neq 0, x$ 为定义域的内点．$)$
这可看成上述几个例题的结果的一般化，我

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