最后更新: 2025-03-15 10:00 查看: 22 次反馈刷题

四则运算法则

## 6.2.3 四则运算法则

### 加减法
第一个法则是导数计算的线性法则，其中包含了和差法则与乘以常数的法则．
法则1 设 $u(x), v(x)$ 是 $x$ 的可导函数，$\alpha, \beta$ 是常数，则有

$$
\boxed{
(\alpha u+\beta v)^{\prime}=\alpha u^{\prime}+\beta v^{\prime}
}
$$

这从函数极限的对应运算法则即可导出.

然后是有关乘除运算的法则。

法则 2 设 $u(x)$ 可导，则有 $\left(u^2\right)^{\prime}=2 u u^{\prime}$ ．
证 直接用导数定义推导如下：

$$
\begin{aligned}
\left(u^2(x)\right)^{\prime} & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u^2(x+\Delta x)-u^2(x)}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{[u(x+\Delta x)-u(x)] \cdot[u(x+\Delta x)+u(x)]}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0}[u(x+\Delta x)+u(x)]
\end{aligned}
$$

利用 $u(x)$ 可导，而可导必定连续，因此就得到极限为 $2 u u^{\prime}$ 。

## 乘除法求导公式
法则3 设 $u(x), v(x)$ 均可导，则有

$$
\boxed{
(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}
}
$$

证 利用法则 1 以及恒等式

$$
u v=\frac{1}{4}\left[(u+v)^2-(u-v)^2\right]
$$

就可推导如下：

$$
\begin{aligned}
(u v)^{\prime} & =\frac{1}{4}\left[2(u+v)\left(u^{\prime}+v^{\prime}\right)-2(u-v)\left(u^{\prime}-v^{\prime}\right)\right] \\
& =\frac{1}{2}\left[\left(u u^{\prime}+v v^{\prime}+u^{\prime} v+u v^{\prime}\right)-\left(u u^{\prime}+v v^{\prime}-u^{\prime} v-u v^{\prime}\right)\right] \\
& =u^{\prime} v+u v^{\prime}
\end{aligned}
$$

注 以上证明中使用了恒等式（6．6），它将乘积问题转化为和差型与平方型问题的复合．这称为配极变换．但也可用其他方法直接证明法则 3 ，并由它推出法则 2 ．

法则 4 设 $u(x)$ 可导且 $u(x) \neq 0$ ，则有 $\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^2}$ ．
证 直接用导数定义推导如下：

$$
\begin{aligned}
\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime} & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{u(x+\Delta x)}-\frac{1}{u(x)}}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \cdot \frac{-1}{u(x+\Delta x) u(x)}\right) \\
& =u^{\prime} \cdot \frac{-1}{u^2}=-\frac{u^{\prime}}{u^2} .
\end{aligned}
$$

法则 5 设 $u(x), v(x)$ 可导且 $u(x) \neq 0$ ，则有

$$
\boxed{
\left(\frac{v}{u}\right)^{\prime}=\frac{v^{\prime} u-u^{\prime} v}{u^2}
}
$$

证 利用法则 3 和法则 4 就有

$$
\begin{aligned}
\left(\frac{v}{u}\right)^{\prime} & =\left(v \cdot \frac{1}{u}\right)^{\prime}=v^{\prime} \cdot \frac{1}{u}+v\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime} \\
& =v^{\prime} \cdot \frac{1}{u}-v \cdot \frac{u^{\prime}}{u^2} \\
& =\frac{v^{\prime} u-u^{\prime} v}{u^2} .
\end{aligned}
$$
注 有时将 $\frac{v}{u}$ 看成为 $v$ 与 $\frac{1}{u}$ 的乘积而用关于函数乘积的求导法则 3 来计算 $\left(\frac{v}{u}\right)^{\prime}$ 更为方便：

$$
\left(\frac{v}{u}\right)^{\prime}=v^{\prime} \cdot \frac{1}{u}-v \cdot \frac{u^{\prime}}{u^2}
$$

利用以上法则，我们来推导正切，余切，正割和余割函数的导数公式．
公式 6(1). 
$$
\begin{array}{ ll}
  \quad(\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^2 x}=\sec ^2 x, \quad(\cot x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^2 x}=-\csc ^2 x . \\
 
\end{array}
$$

公式 6（2）．$\quad(\sec x)^{\prime}=\frac{\sin x}{\cos ^2 x}=\tan x \sec x, \quad(\csc x)^{\prime}=-\frac{\cos x}{\sin ^2 x}=-\cot x \csc x$. ．
证 在正弦和余弦函数的求导公式基础上用四则运算法则即可推导如下：

$$
\begin{aligned}
(\tan x)^{\prime} & =\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime}=\frac{(\sin x)^{\prime} \cos x-(\cos x)^{\prime} \sin x}{\cos ^2 x} \\
& =\frac{\cos ^2 x+\sin ^2 x}{\cos ^2 x}=\frac{1}{\cos ^2 x}=\sec ^2 x \\
(\cot x)^{\prime} & =\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{\prime}=\frac{(\cos x)^{\prime} \sin x-(\sin x)^{\prime} \cos x}{\sin ^2 x} \\
& =\frac{-\sin ^2 x-\cos ^2 x}{\sin ^2 x}=-\frac{1}{\sin ^2 x}=-\csc ^2 x \\
(\sec x)^{\prime} & =\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\prime}=\frac{\sin x}{\cos ^2 x}=\tan x \sec x \\
(\csc x)^{\prime} & =\left(\frac{1}{\sin x}\right)^{\prime}=-\frac{\cos x}{\sin ^2 x}=-\cot x \csc x
\end{aligned}
$$

开VIP会员

非会员每天6篇，会员每天16篇，VIP会员无限制访问

题库训练自我测评投稿

上一篇：初等函数求导公式

下一篇：反函数求导公式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)