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反函数求导公式

##  6.2.4 反函数求导公式

定理 6.2 （反函数求导公式）设 $x=x(y)$ 在点 $y_0$ 的一个邻域上为严格单调连续函数，且 $x^{\prime}\left(y_0\right) \neq 0$ ，则其反函数 $y=y(x)$ 在点 $x_0$ 的一个邻域上存在，且于点 $x_0$ 处可导，并有

$$
y^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{1}{x^{\prime}\left(y_0\right)}
$$

若 $x^{\prime}\left(y_0\right)=0$ ，则有 $y^{\prime}\left(x_0\right)=\infty$ ．

注 如 $x(y)$ 在 $y$ 的某一个区间上处处满足定理中的条件，则就可以将反函数的导数公式写为

$$
y^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{\prime}(y)}
$$

又若采用 Leibniz 的导数符号，则反函数求导公式写为

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\frac{d x}{d y}}
$$

它强烈地提示我们这很像普通的分数运算法则．下面的证明正是这样来进行的．当然其中少不了极限在其中的关键作用。

下面给出反函数求导公式的证明，同时用图 6.8 说明反函数求导公式的几何意义，其中的一条曲线同时代表函数 $x=x(y)$ 和 $y=y(x)$ ．这两个函数在点 $\left(x_0, y_0\right)$的切线是同一条直线，它与两条坐标轴正向的夹角的正切恰好成倒数关系．

证 由定理 5.16 知道反函数 $y=y(x)$ 在点 $x_0$ 的一个邻域内存在，且是有相同严格单调性的连续函数．在 $x^{\prime}\left(y_0\right) \neq 0$ 时的可导性与导数公式可推导如下（每一行后括号内为有关推导的补充说明）：

$$
\begin{aligned}
& \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \text { (从 } y_0 \text { 为内点知 } x_0 \text { 也是内点) } \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}(\Delta x \neq 0 \Longleftrightarrow \Delta y \neq 0) \\
& =\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}(\Delta x \rightarrow 0 \Longleftrightarrow \Delta y \rightarrow 0) \\
& =\frac{1}{\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta y}}=\frac{1}{x^{\prime}\left(y_0\right)} .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-02/b4fba0.jpg)
  
当 $x^{\prime}\left(y_0\right)=0$ 时，则从非零无穷小量的倒数而知道 $y^{\prime}\left(x_0\right)=\infty$ ．

注 由于 $x(y)$ 严格单调，因此差商 $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ 保号，从而当 $x^{\prime}\left(y_0\right)=0$ 时，$y^{\prime}\left(x_0\right)$ 只能是有确定符号的无穷大量 $-\infty$ 或 $+\infty$ ．此外，$x_0$ 与 $y_0$ 同时为内点或端点．对于它们为端点的情况，将定理中的导数改为单侧导数即可。

注意，在 $x^{\prime}(y)$ 处处可导时，我们往往写出公式

$$
y^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{\prime}(y)}
$$

也有写为 $y_x^{\prime}=\frac{1}{x_y^{\prime}}$ 的．读者往往难以正确理解这些公式，因为表面上这些公式的左边是 $x$ 的函数，而右边却是 $y$ 的函数，怎么可能呢？

实际上正确的写法是
$$
y^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{\prime}(y(x))} \text { 或者写成 } y_x^{\prime}=\left.\frac{1}{x_y^{\prime}}\right|_{y=y(x)} \text {. }
$$

也就是说公式右边的分母看上去是 $y$ 的函数，但其中的 $y$ 是 $x$ 的函数，因此右边的分母是复合函数 $x^{\prime}(y(x))$ ．

下列 4 个反三角函数的导数公式也是基本的求导公式．这就是

$$
\text { 公式 } 7(1) . \quad(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} .
$$

$$
\text { 公式 } 7(2) . \quad(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}, \quad(\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^2} .
$$

现证明其中的两个（其余两个的证明可作为练习题）．
对于 $y=\arcsin x$ ，其反函数为 $x=\sin y$ ，定义域为 $-\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}$ ．于是从 $x_y^{\prime}=\cos y$ 可得到

$$
(\arcsin x)^{\prime}=y_x^{\prime}=\left.\frac{1}{x_y^{\prime}}\right|_{y=y(x)}=\left.\frac{1}{\cos y}\right|_{y=\arcsin x} .
$$

因 $y=\arcsin x$ 即 $x=\sin y$ ，于是有 $\cos y=\sqrt{1-x^2}$ ，因此

$$
(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$

此外还要看到当 $x= \pm 1$ 时，

$$
\left.(\arcsin x)^{\prime}\right|_{x= \pm 1}=+\infty
$$

这里可以参看例题 3.1 中 $y=\arcsin x$ 的图 3.2 来理解这些结果．

同样对于 $y=\arctan x$ 有 $x=\tan y$ 和 $x_y^{\prime}=\sec ^2 y$ ，于是有

$$
(\arctan x)^{\prime}=y_x^{\prime}=\left.\frac{1}{x_y^{\prime}}\right|_{y=y(x)}=\left.\frac{1}{\sec ^2 y}\right|_{y=\arctan x} .
$$

因 $y=\arctan x$ 即 $x=\tan y$ ，于是有 $\sec ^2 y=1+\tan ^2 y=1+x^2$ ，即得到

$$
(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2} .
$$

（参看例题 3.3 的反正切函数及其图 3．4．）
最后再补充两点．
利用反函数求导公式，可以从指数函数的导数公式推出对数函数的导数公式，也可以从对数函数的导数公式推出指数函数的导数公式．具体推导如下：

设 $y=\ln x, x>0$ ，则有反函数 $x= e ^y$ ，利用 $x_y^{\prime}=\left( e ^y\right)^{\prime}= e ^y$ ，就有

$$
(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x} ;
$$

反过来，设 $y= e ^x$ ，则有 $x=\ln y, y>0$ ，从 $x_y^{\prime}=\frac{1}{y}$ ，就有

$$
\left(e^x\right)^{\prime}=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y=e^x .
$$

## 导数表
上面推导过程，如果不理解也可以，但是下面求导公式要记住

> 完整求导公式见 [高等数学微分表与积分表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=806)

## 微分表

$C^{\prime}=0$
$ \left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1} $
$ (\sin x)^{\prime}=\cos x $
$ (\cos x)^{\prime}=-\sin x $
$ (\tan x)^{\prime}=\sec ^2 x $
$ (\cot x)^{\prime}=-\csc ^2 x $
$ (\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x $
$ (\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x $
$ \left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a $
$ \left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x $
$ \left(\log _a x\right)^{\prime}=\dfrac{1}{x \ln a} $
$ (\ln x)^{\prime}=\dfrac{1}{x} $
$ (\arcsin x)^{\prime}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} $
$ (\arccos x)^{\prime}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} $
$(\arctan x)^{\prime}=\dfrac{1}{1+x^2} $
$ (\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\dfrac{1}{1+x^2} $

$ (\operatorname{sh} x)=\operatorname{ch} x $

$ (\operatorname{ch} x)=\operatorname{sh} x $
$ (\operatorname{th} x)= \dfrac{1}{\operatorname{ch}^2 x} $
$ ( arsh x)= \dfrac{1}{ \sqrt{1+x^2}} $

$ ( arch x)= \dfrac{1}{ \sqrt{x^2-1}} $
$ ( arth x)= \dfrac{1}{ \sqrt{1-x^2}} $

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