最后更新: 2025-03-15 10:06 查看: 73 次反馈同步训练

复合函数的求导法则

## 6.2.5 复合函数的求导法则
这个法则也称为链式法则（chain rule，或译为链导法，链规则等），它是导数计算中最有用的法则之一。

定理 6.3 （复合函数的求导法则，链式法则）设 $y=y(u), u=u(x)$ 均可导，则复合函数 $y=y(u(x))$ 在其有定义的区间内也可导，且成立

$$
y_x^{\prime}=y_u^{\prime} \cdot u_x^{\prime}
$$

>一般来说在不会发生混淆时导数记号 $y^{\prime}$ 或 $f^{\prime}$ 不必带有下标．但在这里，与反函数求导法则中类似，为了清楚起见采用带有下标的导数记号，指出求导时以什么为自变量．在定理6．3中，$x$ 是自变量，$u$ 为中间变量，$y_x^{\prime}$ 和 $y_u^{\prime}$ 的含意完全不同．

注 链式法则有多种记法，例如有

$$
\begin{aligned}
{[y(u(x))]_x^{\prime} } & =y_u^{\prime}(u(x)) \cdot u^{\prime}(x) \\
(y \circ u)^{\prime}(x) & =y^{\prime}(u(x)) \cdot u^{\prime}(x)=\left.y^{\prime}(u)\right|_{u=u(x)} \cdot u^{\prime}(x) \\
\frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}
\end{aligned}
$$

但最后一式右边第一个导数中要将 $u$ 用 $u=u(x)$ 代入，也就是说第一个因子是一个复合函数．

现在先通过例题学习如何使用链式法则，而将它的证明放在后面进行．
例题 6.7 求 $(\sin 2 x)^{\prime}$ ．
解 这里要将函数 $\sin 2 x$ 看成是 $y=\sin u$ 和 $u=2 x$ 的复合．因此有

$$
(\sin 2 x)^{\prime}=\left.(\sin u)_u^{\prime}\right|_{u=2 x} \cdot(2 x)_x^{\prime}=(\cos 2 x) \cdot 2=2 \cos 2 x
$$

注 实际上平时我们只是在心中默记当前什么是中间变量 $u$ ，而并不将它明显写出．例如此题的计算可以直接写为

$$
(\sin 2 x)^{\prime}=\cos 2 x \cdot 2=2 \cos 2 x .
$$

以下几题也都是如此．

例题 6.8 求 $(\ln (1-x))^{\prime}$ ．
解 心中记住 $u=1-x$ ，就有

$$
(\ln (1-x))^{\prime}=\frac{1}{1-x} \cdot(1-x)^{\prime}=-\frac{1}{1-x}
$$

例题 6.9 求 $\left(\sin \frac{1}{x}\right)^{\prime}$ ．
解 心中记住 $u=1 / x$ ，直接有

$$
\left(\sin \frac{1}{x}\right)^{\prime}=\cos \frac{1}{x} \cdot\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2} \cos \frac{1}{x}
$$

例题 6.10 求 $\left(\sqrt{1+x^2}\right)^{\prime}$ ．
解 心中记住 $u=1+x^2$ ，并记 $\sqrt{1+x^2}=\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{2}}$ ，就有

$$
\left(\sqrt{1+x^2}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}\left(1+x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot\left(1+x^2\right)^{\prime}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
$$

下面来证明链式法则。
正如反函数求导法则的证明过程可以从 Leibniz 的导数符号得到启发那样，回顾链式法则采用 Leibniz 的导数符号时的写法

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}
$$

同样提示我们可以采取以下的证明方法．这就是先写出

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}
$$

然后在两边令 $\Delta x \rightarrow 0$ 取极限：

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}\right)=\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x},
$$

其中利用了 $\Delta x \rightarrow 0 \Longleftrightarrow \Delta u \rightarrow 0$ 以及乘积极限等于极限乘积的运算法则．
但在这个证明中存在一个无法回避的漏洞。
问题就出在基本类型的函数极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 中不允许 $x=x_0$ ．从导数定义中我们已经明白这一点是必须的，在 $\Delta x \rightarrow 0$ 的极限过程中不允许 $\Delta x=0$ ，因为差商 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 在 $\Delta x=0$ 时成为真正的 0 除 0 ，没有意义．

回顾等式（6．7），在 $\Delta x \neq 0$ 时，不能排除发生 $\Delta u=0$ 的可能性．由于 $u$ 是中间变量，我们无法强制规定 $\Delta u \neq 0$ ．在发生 $\Delta u=0$ 时（6．7）就不能成立，因此上述证明需要修改 ${ }^{(1)}$ 。

链式法则的证明 将（6．7）修改如下．
（1）定义 $\Delta u$ 的函数 $\omega(\Delta u)$ 为：

$$
\omega(\Delta u)=\left\{\begin{aligned}
\frac{\Delta y}{\Delta u}, & \Delta u \neq 0 \\
y_u^{\prime}, & \Delta u=0
\end{aligned}\right.
$$

（这里的目的很明白，就是要克服差商 $\Delta y / \Delta u$ 在分母为 0 时没有定义的困难．）由于 $\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \omega(\Delta u)=y_u^{\prime}=\omega(0)$ ，因此函数 $\omega(\Delta u)$ 在 $\Delta u=0$ 处连续．
（2）在 $\Delta x \neq 0$ 时 代替（6．7）成立下列等式：

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\omega(\Delta u) \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}
$$

实际上在 $\Delta u \neq 0$ 时等式（6．8）就是（6．7），它的成立没有问题。当 $\Delta u=0$ 时，（6．8）的右边为 0 ，由于左边的分子为

$$
\Delta y=y(u(x+\Delta x))-y(u(x))=y(u(x)+\Delta u)-y(u(x))
$$

其中 $\Delta u=u(x+\Delta x)-u(x)$ ，因此当 $\Delta u=0$ 时 $\Delta y=0$ ，等式（6．8）成立．
（3）在等式（6．8）两边令 $\Delta x \rightarrow 0$ ．由于这时 $\Delta u \rightarrow 0$ ，而 $\omega(\Delta u)$ 于 $\Delta u=0$ 连续，且 $\omega(0)=y_u^{\prime}$ ，因此就得到所求的链式法则：

$$
y_x^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \omega(\D

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