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高阶导数

## 6.3.1 高阶导数
若函数 $y(x)$ 在某个区间上可导，则得到导函数 $y^{\prime}(x)$ ．若它也在某点或某个区间上可导，则就得到 $y(x)$ 的二阶导数，记为 $y^{\prime \prime}(x)$ ．依此类推，就可以定义 $y(x)$ 的 $n$ 阶导数 $y^{(n)}(x)$ 为 $y(x)$ 的 $n-1$ 阶导函数 $y^{(n-1)}(x)$ 的导数，也就是归纳地定义

$$
y^{(n)}(x)=\left(y^{(n-1)}(x)\right)^{\prime}
$$

由这个定义可知，若在某点 $x_0$ 存在二阶导数 $y^{\prime \prime}\left(x_0\right)$ ，则其前提是至少在点 $x_0$的一个小邻域内处处存在导数 $y^{\prime}(x)$ ．一般地，若在某点 $x_0$ 存在 $n$ 阶导数 $y^{(n)}\left(x_0\right)$ ，则至少在点 $x_0$ 的一个小邻域内处处存在 $n-1$ 阶导数 $y^{(n-1)}(x)$ ，从而在该邻域上同时存在阶数不超过 $n-1$ 的所有导函数 $y^{(k)}(x), k=1, \cdots, n-1$ 。

在记号上有时为了方便起见，还将函数 $f(x)$ 本身记为 $f^{(0)}(x)$ ．
经常使用的高阶导数符号也有几种。除了上述 $y^{\prime \prime}(x), y^{\prime \prime \prime}(x), \cdots, y^{(n)}(x), \cdots$和类似的 $f^{\prime \prime}(x), f^{\prime \prime \prime}(x), f^{(4)}(x), \cdots, f^{(n)}(x), \cdots$ 之外，还有从 Leibniz 的导数符号 $\frac{ d y}{d x}$ 开始的

$$
\frac{d^2 y}{d x^2}, \frac{d^3 y}{d x^3}, \cdots, \frac{d^n x}{d x^n}, \cdots
$$

注意这些符号都是作为整体记号来使用的，不能随意看成为分式．高阶导数的归纳定义用这类符号应当写为

$$
\frac{d^n y}{d^n x}=\frac{d}{d x}\left(\frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}}\right)
$$

在高阶导数的计算中线性法则是最基本的．

高阶导数计算的线性法则 设 $u, v$ 是 $x$ 的 $n$ 阶可导函数，$\alpha, \beta$ 是常数，则成立

$$
(\alpha u+\beta v)^{(n)}=\alpha u^{(n)}+\beta v^{(n)}
$$

这是 $\S 6.2 .3$ 的法则 1 的推广，可以从高阶导数的定义用数学归纳法作出证明．
例题 6.16 设 $y=(x-a)^\beta$ ，求 $y^{(n)}$ ．
解 反复用幂函数导数公式就得到

$$
y^{(n)}=\left((x-a)^\beta\right)^{(n)}=\beta(\beta-1) \cdots(\beta-n+1)(x-a)^{\beta-n} .
$$

可以用数学归纳法严格证明这个公式成立．这里从略．
但必须注意，当 $\beta=m$ 为正整数时，只要 $n>m$ ，就有 $y^{(n)}(x)=0$ 。
注 由此得到经常有用的一个事实，即若 $p(x)$ 为 $m$ 次多项式，则当 $n>m$ 时， $p(x)$ 的 $n$ 阶导数都恒等于 0 ．
观察例题 6.16 的两个特例．当 $\beta=-1$ 时有

$$
\left(\frac{1}{x}\right)^{(n)}=(-1)(-2) \cdots(-n) x^{-1-n}=\frac{

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