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莱布尼兹 Leibniz 公式

## 6.3.2 Leibniz 公式
除了线性法则之外，求高阶导数的主要工具就是 Leibniz 公式，它是函数乘积求导公式 $(u v)^{\prime}=u v^{\prime}+u^{\prime} v$ 在高阶导数计算中的推广．

定理 6.4 （Leibniz 公式）设 $u(x), v(x)$ 都有 $n$ 阶导数，则成立公式

$$
(u v)^{(n)}=C_n^0 u^{(0)} v^{(n)}+C_n^1 u^{\prime} v^{(n-1)}+\cdots+C_n^n u^{(n)} v^{(0)}
$$

证 $n=1$ 时即 $(u v)^{\prime}=u v^{\prime}+u^{\prime} v$ 。
设 $n$ 时公式已经成立，则对于 $n+1$ 就有

$$
(u v)^{(n+1)}=\left(C_n^0 u^{(0)} v^{(n)}+C_n^1 u^{\prime} v^{(n-1)}+\cdots+C_n^n u^{(n)} v^{(0)}\right)^{\prime} .
$$

考虑对右边括号内的每一项求导，即对于 $k=0,1, \cdots, n$ 得到

$$
\left(C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}\right)^{\prime}=C_n^k\left(u^{(k+1)} v^{(n-k)}+u^{(k)} v^{(n-k+1)}\right),
$$

因此就有

$$
(u v)^{(n+1)}=\left(\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}\right)^{\prime}=\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k+1)} v^{(n-k)}+\sum_{k=0}^n u^{(k)} v^{(n-k+1)} .
$$

为了将右边的两个和式中的同类项合并，将其中第一个和式的指标 $k$ 换为 $k^{\prime}-1$ ，当 $k$ 从 0 到 $n$ 时，$k^{\prime}$ 从 1 到 $n+1$ ，然后又将 $k^{\prime}$ 记为 $k$ ，这样就得到

$$
\begin{aligned}
(u v)^{(n+1)} & =\sum_{k=1}^{n+1} C_n^{k-1} u^{(k)} v^{(n-k+1)}+\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k+1)} \\
& =C_n^0 u^{(0)} v^{(n+1)}+\sum_{k=1}^n\left(C_n^{k-1}+C_n^k\right) u^{(k)} v^{(n-k+1)}+C_n^n u^{(n+1)} v \\
& =\sum_{k=0}^{n+1} C_{n+1}^k u^{(k)} v^{(n+1-k)} .
\end{aligned}
$$

注 最后一步利用了组合恒等式 $C _n^{k-1}+ C _n^k= C _{n+1}^k$ ．整个证明过程与用数学归纳法证明二项式定理的过程完全相同。此外还可以将 Leibniz 公式推广到更多个函数的乘积 $u v \cdots t$ 的 $n$ 阶导数上去，并发现与多项式的幂 $(u+v+\cdots+t)^n$ 的展开式完全类似。

下面是用 Leibniz 公式的两个例题．

**例题 6.20** 求 $\left(x^2 \sin x\right)^{(80)}$ ．
解 利用 $\left(x^2\right)^{\prime}=2 x,\left(x^2\right)^{\prime \prime}=2, n \geqslant 3$ 时 $\left(x^2\right)^{(n)}=0$ ，可见在本题中，用 Leibniz 公式得到的 81 项中只有 3 个非零项：

$$
\begin{aligned}
\left(x^2 \sin x\right)^{(80)} & =x^2 \cdot(\sin x)^{(80)}+80 \cdot 2 x \cdot(\sin x)^{(79)}+\frac{80 \cdot 79}{2} \cdot 2 \cdot(\sin

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