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隐函数求导法

## 6.3.3 隐函数求导法
用方程 $f(x, y)=0$ 给出的曲线在中学数学中已经见过很多实例，现在从函数的角度引入以下基本定义。关于这些概念的严格处理则要到多元微积分中解决．

定义6．2 由方程 $f(x, y)=0$ 确定的函数称为隐函数（implicit function），与之相对的是显函数（explicit function），即明确给出定义域和映射关系的函数。

举一个简单例子．例如方程 $x^2+y^2=1$ 确定了 $y= \pm \sqrt{1-x^2}$ ，后者称为显函数，而未解出之前称为隐函数。

![图片](/uploads/2025-02/ceec8a.jpg)

更为复杂的问题在于：由方程确定的隐函数不一定能够解出，即使能解出，所得到的表达式也不一定能用。

例如左边的图 6.10 中的图像就是如此．它是由方程 $y^3+x^2 y^2-x^3=0$ 所确定的．该图像分为两枝．从能否确定形式为 $y=y(x)$的函数来看，在 $x$ 的某些范围中存在惟一的隐函数，而在另一些范围中则存在 3 个隐函数．

由于三次代数方程有求根公式，因此理论上说可以从方程 $y^3+x^2 y^2-x^3=0$解出三个显函数表达式．但是用这些公式来讨论并不方便，特别是其中还一定会涉及到复数运算，因此这种做法实际上不可行。（

总的来说，隐函数的概念为我们对函数的研究提供了新的视角，既扩大了所能研究的函数范围，又提供了新的工具．因为有许多方程确定的隐函数根本解不出来，同时即使能解出为显函数，也往往需要从隐函数的角度对它们进行研究。

为此我们需要直接从方程来研究与隐函数有关的问题．其中包括隐函数的存在性，它的定义域是什么，它是否连续，是否可导等．所有这些问题都要到多元微积分中才能得到满意的解决．就目前来说，只解决一个问题，即在假设存在可导的隐函数的前提下，如何从方程 $f(x, y)=0$ 出发直接计算隐函数的导数．

一般而言，设有一个函数 $y=y(x)$ 满足方程

$$
F(x, y)=0
$$

这等价于说图像上的所有点 $(x, y(x))$ 满足方程，因此成立恒等式

$$
F(x, y(x)) \equiv 0
$$

从这个恒等式对 $x$ 求导就有可能得到 $y^{\prime}(x)$ ，甚至求出更高阶的导数．

回到最简单的方程 $x^2+y^2=1$ ，我们来看这样的运算是如何进行的．由于这里可解出显函数，我们还可以比较一下用隐函数求导法与用显函数求导得到的结果是什么关系。

将隐函数 $y=y(x)$ 代入方程，得到恒等式

$$
x^2+y^2(x) \equiv 1,
$$

求导之后得到

$$
2 x+2 y y^{\prime}(x) \equiv 0 .
$$

解出 $y^{\prime}(x)$ 就得到

$$
y^{\prime}(x)=-\frac{x}{y(x)} ...(6.9)
$$

它只要 $y(x) \neq 0$ 就成立．
 ![图片](/uploads/2025-02/32011a.jpg)
 
 另一方面，从方程 $x^2+y^2=1$ 可以解出两个显函数，它们的定义域为 $[-1,1]$ ，分别记为：

$$
y_1(x)=\sqrt{1-x^2}, \quad y_2(x)=-\sqrt{1-x^2}
$$

它们的导数为

$$
y_1^{\prime}(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{y_1(x)}, \quad y_2^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{y_2(x)},
$$

其中 $-1<x<1$ ，也就是 $y_1, y_2 \neq 0$ ．

比较两个方法得到的结果，可见完全相同．此外还发现，两个显函数分别求导得到的导数公式可以统一在用隐函数求导法得到的一个公式（6．9）中．

注 1 由函数的定义可知，不同的定义域上相同的解析表达式代表不同的函数，因此满足方程 $x^2+y^2=1$ 的隐函数不仅仅只有上面的 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ ，而有无限多个，但它们的导函数都可以用统一的公式（6．9），即用 $y^{\prime}(x)=-\frac{x}{y(x)}$ 表示．

注 2 习惯上的隐函数求导法书写中一般不写明是对恒等式求导．例如，上述例子中，只说将隐函数 $y=y(x)$ 代入方程 $x^2+y^2=1$ ，然后对 $x$ 求导得到

$$
2 x+2 y y^{\prime}=0,
$$

由此解得 $y^{\prime}=-\frac{x}{y}$ ．确切地说，应当从恒等式的角度来理解上述运算，而最后一步中的 $y$ 是 $y=y(x)$ ．

**例题6．23** 设有可导的隐函数 $y=y(x)$ 满足方程 $x^2+x y+y^2=1$ ，求出 $y(x)$的一阶和二阶导函数 $y^{\prime}$ 和 $y^{\prime \prime}$ ．
解 将 $y=y(x)$ 代入方程，将（恒等式）$x^2+x y(x)+y^2(x)=1$ 对 $x$ 求导，得到

$$
2 x+y(x)+x y^{\prime}(x)+2 y(x) y^{\prime}(x)=0
$$

解出

$$
y^{\prime}(x)=-\frac{2 x+y}{x+2 y}
$$

这里要注意右边出现的 $y=y(x)$ ，因此右边是 $x$ 的函数．
求 $y^{\prime \prime}(x)$ 有两个方法．第一个方法是直接对于 $y^{\prime}(x)$ 的上述表达式求导，即有

$$
\begin{aligned}
y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\prime} & =\left(-\frac{2 x+y}{x+2 y}\right)^{\prime}=-\frac{\left(2+y^{\prime}\right)(x+2 y)-\left(1+2 y^{\prime}\right)(2 x+y)}{(x+2 y)^2} \\
& =-\frac{3 y+y^{\prime}(-3 x)}{(x+2 y)^2}=-\frac{1}{(x+2 y)^2} \cdot\left(3 y+3 x \cdot \frac{2 x+y}{x+2 y}\right) \\
& =-\frac{1}{(x+2 y)^2} \cdot \frac{6 y^2+6 x^2+6 x y}{x+2 y} \\
& =-\frac{6}{(x+2 y)^3} .
\end{aligned}
$$

第二个方法是将恒等式（6．10）对 $x$ 再求导得到

$$
2+y^{\prime}+y^{\prime}+x y^{\prime \prime}+2 y^{\prime 2}+2 y y^{\prime \prime}=0
$$

解出 $y^{\prime \prime}$ 并作如下计算：

$$
\begin{aligned}
y^{\prime \prime} & =-\frac{2\left(1+y^{\prime}+y^{\prime 2}\right)}{x+2 y}=-\frac{2}{x+2 y} \cdot\left(1-\frac{2 x+y}{x+2 y}+\frac{(2 x+y)^2}{(x+2 y)^2}\right) \\
& =-\frac{2}{(x+2 y)^3} \cdot\left[\left(x^2+4 x y+4 y^2\right)-\left(2 x^2+5 x y+2 y^2\right)+\left(4 x^2+4 x y+y^2\right)\right] \\
& =-\frac{2}{(x+2 y)^3} \cdot\left(3 x^2+3 x y+3 y^2\right)=-\frac{6}{(x+2 y)^3} .
\end{aligned}
$$

**例题 6.24** 设有可导的隐函数 $y=y(x)$ 满足方程 $x^y=y^x$ ，求 $y^{\prime}(1)$ ．
解 先注意当 $x=1$ 时可以从方程求出 $y(1)=1$ ．
在方程 $x^y=y^x$ 两边取对数，得到

$$
y \ln x=x \ln y
$$

由于其中的 $y=y(x)$ ，且可导，因此对 $x$ 求导得到

$$
y^{\prime} \ln x+y \cdot \frac{1}{x}=\ln y+x \cdot \frac{1}{y} \cdot y^{\prime}
$$

用 $x=y=1$ 代入就得到 $y^{\prime}(1)=1$ ．

其他版本
【高等数学】隐函数的导数

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