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数学分析
第四篇 一元函数导数与微分
参数方程求导法
最后
更新:
2025-03-15 10:21
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参数方程求导法
## 6.3.4 参数方程求导法 有很多平面曲线是用参数方程 $x=x(t), y=y(t)$ 来描述的 . 举两个例子.从中可以看出这种方法和隐函数方法有密切联系.此外还可以注意到其中的参数往往有具体的意义。 例如,对于方程 $x^2+y^2=1$ 可以令 $x=\cos t, y=\sin t, 0 \leqslant t<2 \pi$ ,于是就可以用参数方程来研究图 6.11 中由单位圆确定的隐函数. 又如对于图 6.10 中的方程 $y^3+x^2 y^2-x^3=0$ ,可以用 $y=t x$ 代入,从而得到参数方程 $$ x=\frac{1-t^3}{t^2}, \quad y=\frac{1-t^3}{t} $$ 为了用微分学来研究由参数方程确定的曲线或函数,采取的方法是将曲线在局部看成为函数 $y=y(x)$ 或 $x=x(y)$ 的图像,然后求导。例如,若 $x=x(t)$ 有反函数 $t=t(x)$ ,则理论上就可以消去 $t$ 而确定 $y$ 为 $x$ 的函数: $$ y=y(t(x)) $$ 然而这种消去法往往不适合于具体计算。这是因为给定 $x=x(t)$ 时,即使理论上存在反函数 $t=t(x)$ ,也不等于有可用的显式表达式,因此如何直接从 $y=y(t), x=x(t)$ 计算 $y_x^{\prime}$ 就是一个需要解决的问题. 以下需要注意对于三个变量的正确观点:在 $y=y(t(x))$ 中 $x$ 是自变量,而参数 $t$ 在这里是中间变量.通过 $t$ 的中介作用而使得变量 $y$ 和 $x$ 发生联系. 参数方程的求导法则 设 $x(t), y(t)$ 均在区间 $I$ 上可导,且 $x^{\prime}(t)$ 在 $I$ 上无零点,则 $x=x(t)$ 存在反函数 $t=t(x)$ ,而函数 $y=y(t(x))$ 的导数可计算如下: $$ y_x^{\prime}=\frac{y_t^{\prime}}{x_t^{\prime}} $$ 其中右边的变量 $
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【高等数学】参数方程的导数
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