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参数方程求导法

## 6.3.4 参数方程求导法
有很多平面曲线是用参数方程 $x=x(t), y=y(t)$ 来描述的 .
举两个例子．从中可以看出这种方法和隐函数方法有密切联系．此外还可以注意到其中的参数往往有具体的意义。

例如，对于方程 $x^2+y^2=1$ 可以令 $x=\cos t, y=\sin t, 0 \leqslant t<2 \pi$ ，于是就可以用参数方程来研究图 6.11 中由单位圆确定的隐函数．

又如对于图 6.10 中的方程 $y^3+x^2 y^2-x^3=0$ ，可以用 $y=t x$ 代入，从而得到参数方程

$$
x=\frac{1-t^3}{t^2}, \quad y=\frac{1-t^3}{t}
$$

为了用微分学来研究由参数方程确定的曲线或函数，采取的方法是将曲线在局部看成为函数 $y=y(x)$ 或 $x=x(y)$ 的图像，然后求导。例如，若 $x=x(t)$ 有反函数 $t=t(x)$ ，则理论上就可以消去 $t$ 而确定 $y$ 为 $x$ 的函数：

$$
y=y(t(x))
$$

然而这种消去法往往不适合于具体计算。这是因为给定 $x=x(t)$ 时，即使理论上存在反函数 $t=t(x)$ ，也不等于有可用的显式表达式，因此如何直接从 $y=y(t), x=x(t)$ 计算 $y_x^{\prime}$ 就是一个需要解决的问题．

以下需要注意对于三个变量的正确观点：在 $y=y(t(x))$ 中 $x$ 是自变量，而参数 $t$ 在这里是中间变量．通过 $t$ 的中介作用而使得变量 $y$ 和 $x$ 发生联系．

参数方程的求导法则 设 $x(t), y(t)$ 均在区间 $I$ 上可导，且 $x^{\prime}(t)$ 在 $I$ 上无零点，则 $x=x(t)$ 存在反函数 $t=t(x)$ ，而函数 $y=y(t(x))$ 的导数可计算如下：

$$
y_x^{\prime}=\frac{y_t^{\prime}}{x_t^{\prime}}
$$

其中右边的变量 $t=t(x)$ ．这个公式也可记为

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}
$$

证 利用后面将会学到的知识可以知道 $x=x(t)$ 是严格单调的连续函数，因此在区间 $x(I)$（即函数 $x=x(t)$ 的值域）上存在反函数 $t=t(x)$ ，于是在区间 $x(I)$上函数 $y=y(t(x))$ 有定义．从反函数求导法则得到

$$
t^{\prime}(x)=\left.\frac{1}{x^{\prime}(t)}\right|_{t=t(x)}
$$

再按照复合函数求导法则就得到

$$
\boxed{
y_x^{\prime}=y_t^{\prime}(t(x)) \cdot t^{\prime}(x)=\left.\frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}\right|_{t=t(x)}
}
$$

进一步，若 $x(t), y(t)$ 对于 $t$ 均二阶可导，则还可计算 $y_x^{\prime \prime}$ ．这时注意导数公式

$$
y_x^{\prime}=\frac{y_t^{\prime}}{x_t^{\prime}}
$$

的右边表面上是 $t$ 的函数，但通过前面所说的 $x=x(t)$ 的反函数 $t=t(x)$ 而成为 $x$的函数。根据完全相同的推导，就有

$$
\begin{aligned}
y_x^{\prime \prime} & =\left(y_x^{\prime}\right)_x^{\prime}=\left(y_x^{\prime}\right)_t^{\prime} \cdot t_x^{\prime}=\left(\frac{y_t^{\prime}}{x_t^{\prime}}\right)_t^{\prime} \cdot t_x^{\prime} \\
& =\frac{y_t^{\prime \prime} x_t^{\prime}-x_t^{\prime \prime} y_t^{\prime}}{x_t^{\prime 2}} \cdot \frac{1}{x_t^{\prime}}=\frac{y_t^{\prime \prime} x_t^{\prime}-x_t^{\prime \prime} y_t^{\prime}}{x_t^{\prime 3}}
\end{aligned}
$$

例题 6.25 设圆的参数方程为 $x=\cos t, y=\sin t$ ，求 $y_x^{\prime}$ 和 $y_x^{\prime \prime}$ ，并与从 $y= \pm \sqrt{1-x^2}$ 直接求导数的结果作比较．

解 先求一阶导数

$$
y_x^{\prime}=y_t^{\prime} \cdot t_x^{\prime}=\frac{y_t^{\prime}}{x_t^{\prime}}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\cot t
$$

为简明起见只与 $y=\sqrt{1-x^2}$ 作比较．将它对 $x$ 求导，得到 $y_x^{\prime}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ ．用 $x=\cos t$ 代入即可见二者完全相同．

然后利用参数 $t$ 计算出二阶导数
$$
\begin{aligned}
y_x^{\prime \prime} & =\left(y_x^{\prime}\right)_x^{\prime}=(-\cot t)_x^{\prime}=-(\cot t)_t^{\prime} \cdot t_x^{\prime} \\
& =\csc ^2 t \cdot \frac{1}{x_t^{\prime}}=-\csc ^2 t \cdot \frac{1}{\sin t}=-\frac{1}{\sin ^3 t} .
\end{aligned}
$$

从 $y_x^{\prime}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ 对 $x$ 求导则有

$$
\begin{aligned}
y_x^{\prime \prime} & =-\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 2 x}{\left(1-x^2\right)^{3 / 2}} \\
& =-\frac{1}{\left(1-x^2\right)^{3 / 2}}
\end{aligned}
$$

可见二阶导数也完全相同．
注 应当强调这里不要背公式，而是真正学会使用复合函数求导法则（即链式法则）和反函数求导法则．

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【高等数学】参数方程的导数

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