最后更新: 2025-03-15 10:33 查看: 50 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

微分的定义

## 6.4 一阶微分及其形式不变性
在导数的基础上，我们介绍第六章的第二个重要概念：微分．
看几个例子．先看圆面积公式 $S=\pi r^2$ ，其中将面积 $S$ 作为半径 $r$ 的函数，则就有 $\frac{ d S}{d r}=2 \pi r$ ，右边恰好是圆周长公式．又看球体积公式 $V=\frac{4}{3} \pi r^3$ ，则就有 $\frac{ d V}{d r}=4 \pi r^2$ ，恰好是球面积公式．为什么会如此？

## 6.4.1 微分的定义
从正方形面积开始（见图 6．12）．设 $S(x)=x^2$ 是边长为 $x$ 的正方形面积．在 $x$变为 $x+\Delta x$ 时，$S(x)$ 的增量为

$$
\Delta S=S(x+\Delta x)-S(x)=(x+\Delta x)^2-x^2=2 x \Delta x+\Delta x^2
$$

其中记号 $\Delta x^2=(\Delta x)^2$ 是习惯记法．
 ![图片](/uploads/2025-02/86aea5.jpg)
 从图 6.12 可以看出在 $\Delta S$ 的两项中，一次项 $2 x \Delta x$ 是两个矩形的面积之和，它在 $\Delta x$ 充分小时是 $\Delta S$ 的主要部分．它又是 $\Delta x$ 的线性函数，因此一般称这一项为线性主部。

对于圆面积的增量作同样的计算．设圆面积 $S=\pi r^2$ ．若半径

从 $r$ 变为 $r+\Delta r$ ，则在两个圆周之间的圆环面积，即 $S$ 的增量，为

$$
\Delta S=\pi(r+\Delta r)^2-\pi r^2=2 \pi r \Delta r+(\Delta r)^2=2 \pi r \Delta r+\Delta r^2
$$

其中将 $(\Delta r)^2$ 记为 $\Delta r^2$ 。可见 $\Delta S$ 中也出现了线性主部，它在数值上等于圆周长度 $2 \pi r$ 乘以增量 $\Delta r$ ．从图 6.12 可见，这表明圆环面积与将它＂拉直＂后得到的边长为 $2 \pi r$ 和 $\Delta r$ 的矩形面积很接近．

对于球体积公式也有同样的情况．设 $V=\frac{4}{3} \pi r^3, r$ 为球半径，则当半径从 $r$ 变为 $r+\Delta r$ 时，可以计算得到

$$
\Delta V=4 \pi r^2 \Delta r+O\left(\Delta r^2\right)(\D

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