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微分的定义

## 6.4 一阶微分及其形式不变性
在导数的基础上，我们介绍第六章的第二个重要概念：微分．
看几个例子．先看圆面积公式 $S=\pi r^2$ ，其中将面积 $S$ 作为半径 $r$ 的函数，则就有 $\frac{ d S}{d r}=2 \pi r$ ，右边恰好是圆周长公式．又看球体积公式 $V=\frac{4}{3} \pi r^3$ ，则就有 $\frac{ d V}{d r}=4 \pi r^2$ ，恰好是球面积公式．为什么会如此？

## 6.4.1 微分的定义
从正方形面积开始（见图 6．12）．设 $S(x)=x^2$ 是边长为 $x$ 的正方形面积．在 $x$变为 $x+\Delta x$ 时，$S(x)$ 的增量为

$$
\Delta S=S(x+\Delta x)-S(x)=(x+\Delta x)^2-x^2=2 x \Delta x+\Delta x^2
$$

其中记号 $\Delta x^2=(\Delta x)^2$ 是习惯记法．
 ![图片](/uploads/2025-02/86aea5.jpg)
 从图 6.12 可以看出在 $\Delta S$ 的两项中，一次项 $2 x \Delta x$ 是两个矩形的面积之和，它在 $\Delta x$ 充分小时是 $\Delta S$ 的主要部分．它又是 $\Delta x$ 的线性函数，因此一般称这一项为线性主部。

对于圆面积的增量作同样的计算．设圆面积 $S=\pi r^2$ ．若半径

从 $r$ 变为 $r+\Delta r$ ，则在两个圆周之间的圆环面积，即 $S$ 的增量，为

$$
\Delta S=\pi(r+\Delta r)^2-\pi r^2=2 \pi r \Delta r+(\Delta r)^2=2 \pi r \Delta r+\Delta r^2
$$

其中将 $(\Delta r)^2$ 记为 $\Delta r^2$ 。可见 $\Delta S$ 中也出现了线性主部，它在数值上等于圆周长度 $2 \pi r$ 乘以增量 $\Delta r$ ．从图 6.12 可见，这表明圆环面积与将它＂拉直＂后得到的边长为 $2 \pi r$ 和 $\Delta r$ 的矩形面积很接近．

对于球体积公式也有同样的情况．设 $V=\frac{4}{3} \pi r^3, r$ 为球半径，则当半径从 $r$ 变为 $r+\Delta r$ 时，可以计算得到

$$
\Delta V=4 \pi r^2 \Delta r+O\left(\Delta r^2\right)(\Delta r \rightarrow 0)
$$

于是右边的第一项是线性主部．直观上它说明当 $\Delta r$ 充分小时，在半径 $r$ 和 $r+\Delta r$的两个球之间的体积与将它＂展平＂后得到的面积为球面积 $4 \pi r^2$ 而厚度为 $\Delta r$ 的薄片体积非常接近。

注 如第四章的定义 4.5 那样，当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，我们以 $\Delta x$ 作为标准的 1 阶无穷小量，将 $a \Delta x^n(a \neq 0)$ 称为 $n$ 阶无穷小量．又将 $o(\Delta x)=o(1) \Delta x$ 称为高于 1 阶的无穷小量．用这样的术语就可以将以上两个例子中的因变量增量看成为两项之和，第一项是关于 $\Delta x$ 的 1 阶项，即线性项，第二项是关于 $\Delta x$ 的 2 阶项．

注意到以上三个例子的线性主部中关于自变量增量的系数恰好就是函数的导数，这样就导致下面的微分概念．

##  微分
定义 6.3 给定函数 $y=y(x), x$ 是自变量，函数 $y(x)$ 在点 $x_0$ 可导，$\Delta x=x-x_0$是自变量的增量，则称乘积 $y^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x$ 为函数 $y^{\prime}(x)$ 在点 $x_0$ 的微分，记为

$$
d y=f^{\prime}\left(x_0\right) d x
$$

其中 $d x=\Delta x$ 称为自变量 $x$ 的微分．又若 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上处处可导，则就有

$$
d y=f^{\prime}(x) d x,
$$

它是 $x$ 和 $d x$ 的二元函数．
注 1 按照上述定义，自变量的微分就是自变量的增量，因变量的微分是导数与自变量的微分的乘积．将 $\Delta x$ 记为 $d x$ 的根据可以从最简单函数 $y=x$ 的微分为

$$
d y=d x=(x)^{\prime} \Delta x=\Delta x
$$

来理解．（又见下面的例题 6．28．）
注2 在引入微分概念之后，过去作为整体记号使用的 Leibniz 的导数记号 $\frac{ d y}{d x}$ 可以看成为分式，分子是因变量的微分，分母是自变量的微分．这就是说，

$$
\frac{d y}{d x}=y^{\prime}(x)
$$

的左边不仅仅是导数的一种记法，而且确实可以看成为分式 ${ }^{(1)}$ ．
从微分的定义可见只要将导数乘以自变量的微分即可．例如有

$$
d\left(x^2\right)=2 x d x, \quad d \sin x=\cos x d x, \quad d \tan x=\sec ^2 x d x .
$$

例题 6.26 求 $y=x^2$ 在 $x=1$ 处的微分 $d y$ ，并计算 $d y(1,0.1)$ ．
解 从 $d y=2 x d x$ 知道在点 $x=1$ 处 $d y=2 d x$ ．令 $d x=0.1$ 代入，就得到 $d y(1,0.1)=2 \cdot 0.1=0.2$ ．

注 可以联系图6．12中的正方形面积 $S(x)=x^2$ 来观察这个例题的含义．在 $x=1$ 的 $d y$ 就是 $\Delta y=(1+\Delta x)^2-1^2=2 \Delta x+\Delta x^2$ 中的线性主部．在取 $\Delta x=0.1$时，我们看到 $\Delta y=1.21-1=0.21, d y=0.2$ 是其主要部分．

例题 6.27 设 $c$ 是常数，证明： $d c=0$ ．
证 这就是说常值函数的微分总等于 0 ．由 $c^{\prime}=0$ 就有 $d c=\left(c^{\prime}\right) d x=0$ ．

例题 6.28 对于函数 $y=x$ ，求 $d y$ ．
解 由公式 $d y=x^{\prime} d x= d x$ 即得。这表明对于函数 $y=x$ 来说，自变量微分既等于自变量增量，也等于因变量的微分．

下一个例题中含有新的内容，即已知微分求原来的函数是什么（这是今后不定积分中要系统研究的问题）．

例题 6.29 填充 $e ^{-\frac{x}{2}} d x= d (\quad)$（只要填一个函数）．
解 这就是问什么函数的导数等于 $e ^{-\frac{x}{2}}$ ？从

$$
de^{-\frac{x}{2}}=\left(e^{-\frac{x}{2}}\right)^{\prime} d x=-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} d x
$$

可见 $-2 e ^{-\frac{x}{2}}$ 或者将它再加上一个常数都是正确的答案．
从微分与导数的关系就可以知道微分计算也满足相应的四则运算法则等等，这里从略．但是需要重视下一个法则．由它出发会引申出新的内容．

复合函数的微分法则 设 $u(x)$ 可导，$y(u)$ 可导，则在复合函数 $y(u(x))$ 有定义时成立

$$
d y=[y(u(x))]_x^{\prime} d x=\left[y_u^{\prime}(u(x)) \cdot u_x^{\prime}\right] d x=y_u^{\prime}(u(x)) \cdot\left(u_x^{\prime} d x\right)=y^{\prime}(u) d u
$$

从复合函数 $y=y(u(x))$ 来看，这里 $x$ 是自变量，$u$ 是中间变量，$y$ 是因变量．前几步推导只是用复合函数的求导法则，但最后一步则有新意，即当 $y=y(u)$ 中的 $u$并非自变量，而只是中间变量时，公式 $d y=y^{\prime}(u) d u$ 仍然成立，就好像 $u$ 是自变量时一样．然而，当 $u$ 不是自变量时， $d u$ 与 $\Delta u$ 是不同的．所以这实际上就是下面要讲的一阶微分的形式不变性．

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