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可微性

## 6.4.2  微分与增量的关系，可微性
在上面已经看到，微分是因变量增量中关于自变量增量的线性部分，但这是在可导的前提下得到的．下面提出可微性的独立定义。

定义 6.4 （可微性的定义）若存在一个常数 $k$ ，使得函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的增量

$$
\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=k \Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0) ...(6.11)
$$

则称 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微，称（6．11）右边的线性项 $k \Delta x$ 为 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的微分，并记为

$$
d y=k d x
$$

其中 $d x=\Delta x$ ．
这里立即产生一个问题，即前面已经定义过微分为 $d y=f^{\prime}\left(x_0\right) d x$ ，而上面又定义一个微分，两者是什么关系？这个问题由下面的定理解决，它同时回答了本节开始时提出的问题，即为什么在正方形面积，圆面积和球体积等例子中，函数增量的线性主部的系数恰好是函数的导数。

定理 $6.5 y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微的充分必要条件是 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且这时有

$$
\begin{aligned}
\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right) & =f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0) \\
& =d y+o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0) .
\end{aligned}
$$

注 若不用增量和微分记号，则（6．12）可写为

$$
f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+o\left(x-x_0\right)\left(x \rightarrow x_0\right) .
$$

证 充分性（ $\Longleftarrow$ ）。若 $y=f(x)$ 于点 $x_0$ 可导，则有 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ，从而就有

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_0\right)+o(1)(\Delta x \rightarrow 0)
$$

乘以 $\Delta x \neq 0$ 就得到

$$
\Delta y=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)
$$

从而可导必可微，且 $k=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
必要性 $(\Longrightarrow)$ ．因 $y=f(x)$ 于点 $x_0$ 可微，故存在常数 $k$ ，使成立

$$
\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=k \Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)
$$

除以 $\Delta x \neq 0$ 就得到差商
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=k+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}(\Delta x \rightarrow 0)
$$

右边的第二项为 $o(1)(\Delta x \rightarrow 0)$ ，于是已经得到

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=k
$$

因此 $y=f(x)$ 于点 $x_0$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=k$ ，于是（6．12）成立．
注 1 今后经常将可导与可微作为同义词来使用，但应当看到，它们虽然等价，然而却具有完全不同的意义．如前所说，**导数就是函数在某点的变化率，而微分则提供了函数在该点邻近的线性近似**．此外还可以提前告诉读者，在将来的多元微积分中，**多元函数的可微与可（偏）导是不等价的**．

注 2 习惯上经常将定义 6.4 的（6．11）中的 $k \Delta x$ 称为线性主部，但＂主部＂的名称有不严格处．例如，若在点 $x_0$ 处 $y^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，则 $d y=0, \Delta y=o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)$ ，其中根本没有线性主部．只有当 $k=y^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0$ 时，在 $\Delta y$ 中的第二项与第一项之比才是无穷小量：

$$
\frac{o(\Delta x)}{k \Delta x}=\frac{o(1)}{k} \rightarrow 0(\Delta x \rightarrow 0)
$$

这时 $d y$ 才是 $\Delta y$ 中的＂主部＂．

从可微性的定义知道，当 $\Delta x$ 充分小时，可以用微分 $d y=y^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x$ 来代替增量 $\Delta y$ ．这样所引起的误差关于 $\Delta x$ 是高阶无穷小量．由于 $d y$ 是 $d x$ 的线性函数，计算特别方便，而从 $\Delta x$ 计算 $\Delta y$ 则可能复杂得多．因此利用

$$
\Delta y \approx d y
$$

是许多近似计算公式的来源．特别从上面的公式（6．12）可见有

$$
\frac{\Delta y-d y}{\Delta x}=o(1)(\Delta x \rightarrow 0)
$$

这清楚地表明用微分 $d y$ 代替增量 $\Delta y$ 所带来的相对误差可以任意小，只要 $\Delta x$ 足够小。

下面是两个具体例子，它们分别与相对误差和绝对误差有关．

**例题 6.30** 已知某正方体受热后体积膨胀了 $0.03 \%$ ，问每边伸长了百分之几？
解 从体积公式 $V=x^3$ 有

$$
d V=3 x^2 d x
$$

已知 $\frac{ d V}{V}=0.0003$ ，因此就有

$$
\frac{d x}{x}=\frac{d V}{3 x^3}=\frac{1}{3} \cdot \frac{d V}{V}
$$

可见每边伸长约 $0.01 \%$ ．

**例题6.31** 如图 6.13 所示，直接测量仰角 $\alpha$ 和水平距离 $a$ ，然后通过公式 $h=$ $a \tan \alpha$ 确定高度 $h$ 。现在估计由于测量 $\alpha$时的误差而产生的影响．这就是要估计

$$
\Delta h=a \tan (\alpha+\Delta \alpha)-a \tan a
$$

当 $\Delta \alpha$ 充分小时，可以用微分 $d h$ 代替 $\Delta h$而得到简单的线性关系：

$$
d h=\left(a \sec ^2 \alpha\right) d \alpha
$$

![图片](/uploads/2025-02/a9db8f.jpg)

现在给一个数值例子，即当标称值（即读数）为 $\alpha=30^{\circ}, a=10$ 米时，若 $\Delta \alpha= d \alpha= \pm 1^{\circ}$ ，则有 $h=10 / \sqrt{3} \approx 5.77$ 米，而误差 ${ }^{(1)}$

$$
d h= \pm 10 \cdot\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \frac{2 \pi}{360}=\frac{2 \pi}{27} \approx \pm 0.23 \text { 米, }
$$

因此最后的测量结果是

$$
h=5.77 \pm 0.23 \text { 米, }
$$
或者说 5.54 米 $\leqslant h \leqslant 6$ 米．
小结 一般而言，直接使用定义计算 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 并进行估计往往比较复杂，若能求出导数 $y^{\prime}(x)$ ，则就可以用简单的线性关系 $d y=y^{\prime}(x) d x$ 来代替 $\Delta y$ ，这是导数的应用之一．

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