最后更新: 2025-03-15 10:38 查看: 31 次反馈刷题

微分的几何意义

## 6.4.3  微分的几何意义
本小节所说的曲线的切线都要求具有有限的斜率，而不包括**垂直切线**在内．
 ![图片](/uploads/2025-02/df7a0e.jpg)
 如图 6.14 所示，考虑曲线 $y=f(x)$ 上的点 $\left(x_0, y_0\right)$ ，其中 $y_0=f\left(x_0\right)$ ，而曲线 $y=f(x)$ 过点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的切线方程是

$$
Y-y_0=y^{\prime}\left(x_0\right)\left(X-x_0\right),
$$

其中 $X, Y$ 为流动坐标．
若将坐标系平行移动，以点 $\left(x_0, y_0\right)$ 为新的原点，又以 $d x, d y$为新的变量，则切线方程就可简单地写为

$$
d y=f^{\prime}\left(x_0\right) d x
$$

微分有重要的几何意义，这就是当曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 有切线时，在 $x_0$ 的充分小的邻域内，**曲线可以用切线来代替而不会引起很大的误差**．这就是＂以直代曲＂的微分学思想，也常称为对非线性函数取＂一次近似＂或＂线性近似＂ ．

另一方面，在图 6.14 上还可以看到，取定 $d x$ 时，就得到一个以 $d x$ 和 $d y$ 为直角边的直角三角形，今后称为**微分三角形**。它的斜边在今后会知道即是曲线弧长的微分 $d s$ ．在图 6.15 中单独作出了微分三角形的示意图．其中的角 $\alpha$ 满足条件

$$
\tan \alpha=f^{\prime}\left(x_0\right)
$$

![图片](/uploads/2025-02/6fac01.jpg)
 
应当指出，微分三角形是 Leibniz 创建的微积分体系中的核心内容之一．此外，目前使用的微分符号 $d x, d y$ 也都来自于 Leibniz．

下面看一个例子．函数 $y=x^2$ 的图像是开口向上的抛物线．取 $x_0=0$ ，我们来观察抛物线 $y=x^2$ 与抛物线在点 $(0,0)$ 的切线之间的接近程度．如图 6.16 所示，分
别在区间 $[-1,1],[-0.1,0.1]$ 和 $[-0.01,0.01]$ 上作出了抛物线 $y=x^2$ 的图像．其中纵轴和横轴的标度比是 $1: 1$ 。
 ![图片](/uploads/2025-02/564fec.jpg)
 
可以看出，在区间 $[-0.01,0.01]$ 上，在图中已经无法区分抛物线和它的过点 $(0,0)$ 的切线了．对于一般的曲线和曲线上某点的切线，情况也是如此．

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