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高阶微分

## 6.4.4  高阶微分
以上所说的微分在今后也称为一阶微分．现在考虑高阶微分．
设函数 $y=y(x)$ 在区间 $I$ 上处处可导，也就是处处可微，则在微分表达式 $d y=y^{\prime}(x) d x$ 中的 $x$ 和 $d x$ 是相互独立的变量，因此 $d y$ 是二元实函数。例如在前面的例题 6.26 中，就是给定 $x=1$ 和 $d x=0.1$ 之后要求计算 $d y(1,0.1)$ ．

固定表达式 $y^{\prime}(x) d x$ 中的第二个因子 $d x$ ，然后令 $y^{\prime}(x)$ 中的自变量 $x$ 变为 $x+ d x$ ，就可以对 $d y$ 再求微分，同时规定两次出现的 $d x$ 相同，这样就得到二阶微分．在存在二阶导数 $y^{\prime \prime}$ 时就有

$$
\begin{aligned}
d^2 y & =d(d y)=d\left[y^{\prime}(x) d x\right]=d\left[y^{\prime}(x)\right] d x \\
& =y^{\prime \prime}(x) d x^2
\end{aligned}
$$

其中 $d x^2=( d x)^2$ ．
注 1 这里应当将 d 理解为作用在函数 $y(x)$ 上的微分算子 ，它的作用就是 $d (y(x))=y_x^{\prime} d x$ ．但要明白，写起来很容易，说起来比较复杂．简单来说，微分的作用就是是对于由自变量增量引起的因变量增量取其中的线性主部。因此对于导函数 $y^{\prime}(x)$ 有 $d \left(y^{\prime}(x)\right)=y^{\prime \prime}(x) d x$ ，其中 $d x=\Delta x$ ．由于规定这一次的自变量增量与以前相同，从而就得到上面的公式 $d ^2 y=y^{\prime \prime}(x) d x^2$ ．

注 2 作为有关概念的一道小题，我们来说明三个记号的各自意义：

$$
d\left(x^2\right), \quad d x^2, \quad d^2 x .
$$

记号 $d \left(x^2\right)$ 是函数 $y=x^2$ 的微分，它等于 $2 x d x$ ；记号 $d x^2$ 则在前面已经约定为 $( d x)^2$ ；最后的记号 $d ^2 x$ 则是 $x$ 的二阶微分．若 $x$ 是自变量，则因 $y=x$ 的导数为 1 ，再求一次导数为 0 ，因此有 $d ^2 x= d ( d x)=0$ 。

注意上述三个记号中的 $x$ 都可以不是自变量，这时 $d \left(x^2\right)=2 x d x$ 在形式上仍然正确， $d x^2=( d x)^2$ 也仍然如此，但 $d ^2 x$ 末必为 0 ．
类似地在函数 $y(x)$ 为 $n$ 阶可导时可以定义 $n$ 阶微分 $d ^n y$ ，且有计算公式

$$
d^n y=y^{(n)}(x) d x^n
$$

其中 $d x^n=( d x)^n$ ．但这只有当 $x$ 为自变量时才正确．这就是下一小节讨论的问题．

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