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一阶微分的形式不变性

## 6.4.5 一阶微分的形式不变性
**注意这里强调这种不变性是形式上的，而不是真正不变．**
现在将这种不变性写为一个定理。
定理6．6 设 $y=y(u)$ 是 $u$ 的可微函数，则无论 $u$ 是否是自变量，都成立公式：

$$
d y=y_u^{\prime} d u ...(6.13)
$$

证 若 $u$ 是自变量，则公式（6．13）当然成立，其中 $d u=\Delta u$ ．
现在设 $u=u(x)$ ，且可微，其中 $x$ 是自变量．于是 $d u=u^{\prime}(x) d x$ ，其中 $d x=\Delta x$ ．另一方面，我们有 $y=y(u(x))$ ，于是

$$
d y=[y(u(x))]_x^{\prime} d x=y_u^{\prime}(u(x)) u^{\prime}(x) d x
$$

利用 $d u=u^{\prime}(x) d x$ ，可以将上式在形式上写为（6．13），从而定理的结论成立．

注 实际上当 $u=u(x)$ 时，在（6．13）中的 $y_u^{\prime}=y_u^{\prime}(u(x))$ ，它是 $x$ 的函数，而 $d u=u^{\prime}(x) d x$ 是 $x$ 与 $d x$ 的函数。这时一般来说 $\Delta u \neq d u$ 。因此这个等式与 $u$ 为自变量时的意义是不同的，这种不变性只是形式上的．

由上述证明可见，一阶微分的形式不变性只是复合函数求导法则的简单推论，然而这种形式不变性可以对于计算带来方便，特别是在将来的多元微分学中将会起重要作用。

下面是一个例题，用以说明一阶微分的形式不变性的一个用处．
**例题 6.32** 设 $y=\sin x, x=t^2$ ，求 $d y$ ．
解 这里有两种计算方法．
第一种方法就是直接写出 $y=\sin t^2$ ，然后计算 $d y$ ．即有

$$
d y=d\left(\sin t^2\right)=\left(\sin t^2\right)_t^{\prime} d t=2 t \cos t^2 d t
$$

第二种方法就是用一阶微分的形式不变性，无论 $x$ 是否是自变量，总有

$$
d y=\cos x d x
$$

然后用 $x=t^2$ 代入，由于 $\left.\cos x\right|_{x=t^2}=\cos t^2, d x= d \left(t^2\right)=\left(t^2\right)_t^{\prime} d t=2 t d t$ ，因此得到与第一种方法相同的结果。

> 最后，我们要指出高阶微分并不具有形式不变性。下面以二阶微分为例来说明。

一般而言，若 $y=y(x)$ 中 $x$ 为自变量，则根据定义有 $d ^2 y=y^{\prime \prime}(x) d x^2$ ．

若 $y=y(x)$ 中有 $x=x(t), t$ 才是真正的自变量，则 $d y=y^{\prime}(x(t)) x^{\prime}(t) d t$ ，于是

$$
\begin{aligned}
d^2 y & =d\left[y^{\prime}(x(t)) x^{\prime}(t) d t\right]=\left[y^{\prime}(x(t)) x^{\prime}(t)\right]_t^{\prime} d t^2 \\
& =\left[y^{\prime \prime}(x(t)) x^{\prime 2}(t)+y^{\prime}(x(t)) x^{\prime \prime}(t)\right] d t^2
\end{aligned}
$$

利用 $d x=x^{\prime}(t) d t, d^2 x=x^{\prime \prime}(t) d t^2$ ，就可以将二阶微分＂在形式上＂改写为

$$
d^2 y=y^{\prime \prime}(x) d x^2+y^{\prime}(x) d^2 x
$$

可见与 $x$ 为自变量时的二阶微分比较来说要多出一项 $y^{\prime}(x) d ^2 x$ ，因此即使在形式上也没有不变性．当 $x$ 为自变量时， $d ^2 x=0$ ，右边的第二项不存在．

于是在 $x$ 不是自变量时，等式

$$
\frac{d^2 y}{d x^2}=y^{\prime \prime}(x)
$$

的左边不能理解为二阶微分 $d ^2 y$ 与 $d x^2=( d x)^2$ 之商，而只能将它与右边一起理解为二阶导数的两种记号而已．

注 最后我们回顾导数和高阶导数的记号 $\frac{ d y}{d x}$ 和 $\frac{ d ^n y}{d x^n}(n \geqslant 2)$ ．在一开始它们只是常用的导数记号之一，因此与 $y^{\prime}(x)$ 和 $y^{(n)}(x)$ 完全相同．

在引入微分之后，就有了公式 $d y=y^{\prime}(x) d x$ ，因此可以将导数记号 $\frac{ d y}{d x}$ 看成为分式，即分子分母恰是因变量 $y$ 和自变量 $x$ 的微分．

在引入高阶微分之后，有了公式 $d ^n y=y^{(n)}(x) d x^n$ ，因此高阶导数的记号 $\frac{ d ^n y}{d x^n}$ 也可以看成为分式，分子是因变量 $y$ 的 $n$ 阶微分，而分母是自变量 $x$ 的微分 $d x$ 的 $n$ 次幂 $d x^n=( d x)^n$ ．

但这里有一个区别。由于一阶微分的形式不变性，当 $y=y(x)$ 中的 $x$ 只是中间变量时，$\frac{ d y}{d x}=y^{\prime}(x)$ 仍然成立．但是对于 $n \geqslant 2$ 的记号 $\frac{ d ^n y}{d x^n}$ 来说，这时不能将它作为分式来看待，而只能作为一个整体记号来使用．根据定义，$n=2$ 时有

$$
\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)
$$

对于一般的高阶导数记号 $\frac{ d ^n y}{d x^n}$ 也是如此．

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