最后更新: 2025-03-19 06:45 查看: 121 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

数量场和向量场

### 数量场和向量场
本书的场论内容实际上从讲方向导数时引入梯度向量就开始了，然后陆续引入了散度和通量，旋度和环流量，势函数等场论的基本概念．其中最主要的是三大公式：Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式．又对于平面和空间分别得到了 Green定理。这里只是作一个小结。

注意在场论中普遍使用 nabla 算子 $\nabla$ 。
以下都在空间 $R ^3$ 中来叙述。

## 数量场和向量场
在区域 $D \subset R$ 上定义的数值函数 $f(x, y, z)$ 称为 $D$ 上的**数量场**，同样，在 $D$ 上定义的向量值函数 $a (x, y, z)=(P, Q, R)$ 称为 $D$ 上的**向量场**．

对于数量场 $f$ 有梯度

$$
\operatorname{grad} f=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

即生成了一个向量场，称为 $f$ 的梯度场，$f$ 就是这个梯度场的势函数．如前所述，梯度反映了 $f$ 增长的最快方向和大小．

对于向量场 $a =(P, Q, R)$ 有散度
$$
\operatorname{div} a =\nabla \cdot a =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$

即生成了一个数量场，称为 $a$ 的散度场．如前所述，散度反映了流体速度场中的＂源＂和＂汇＂。

从向量场 $a =(P, Q, R)$ 还有旋度

$$
\begin{aligned}
\operatorname{rot} a & =\nabla \times a =\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \\
& =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial z}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right),
\end{aligned}
$$

这样就又生成了一个向量场，称为 $a$ 的**旋度场**．如前所述，旋度反映了向量场的旋转程度。

## 梯度、散度和旋度的运算公式
设 $f, g$ 为数量场， $a , b$ 为向量场，假定都连续可微．则有以下用 nabla 算子写出的运算规则，它们都可以按照定义直接验证．
$$
\boxed{
\begin{aligned}
& \nabla(\alpha f+\beta g)=\alpha \nabla f+\beta \nabla g, \\
& \nabla \cdot(\alpha a +\beta b )=\alpha \nabla \cdot a +\beta \nabla \cdot b , \\
& \nabla \times(\alpha a +\beta b )=\alpha \nabla \times a +\beta \nabla \times b , \\
& \nabla(f g)=(\nabla f) g+f(\nabla g), \\
& \nabla \cdot(f a )=f(\nabla \cdot a )+(\nabla f) \cdot a , \\
& \nabla \times(f a )=f(\nabla \times a )+(\nabla f) \times a , \\
& \nabla \cdot(\nabla \times a )=0, \\
& \nabla \times(\nabla f)= 0 .
\end{aligned}
}
$$

特别注意最后两个公式，**前者表明任何向量场的旋度的散度为零，即旋度不生不灭，后者表明任和数量场的梯度的旋度为零向量，即梯度场没有任何旋转性质**
从 Green 定理知道这就是满足恰当条件，在单连通区域内与存在势函数等价．

下面是关于 $\nabla \cdot(\nabla \times a )=0$ 的验证．由以下计算得到

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot(\nabla \times a ) & =\left|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \\
& =\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)
\end{aligned}
$$

可见对于二阶连续可微的向量场来说，由于二阶混合偏导数与求偏导顺序无关，因此一定成立。

同样可以直接验证 $\nabla \times(\nabla f)= 0$ ．为此只要作如下计算：

$$
\nabla \times(\nabla f)=\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z}
\end{array}\right|
$$

就可以直接看出当数量场 $f$ 二阶连续可微时，同样由于二阶混合偏导数与求偏导的顺序无关，因此上述向量场的三个分量都恒等于 0 ．这表明有势场一定满足恰当条件，且对一般区域都如此。

此外还有常用记号为
$$
\nabla \cdot \nabla f=\Delta f
$$

其中 $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ 为 Laplace 算子，二阶偏微分方程方程 $\Delta u=0$ 称为 Laplace 方程或调和方程，满足该方程的函数称为**调和函数**． 关于调和函数可以在《复变函数与积分变换》课程里，会给出进一步研究，详见[复变函数里的调和函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=854)。

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