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数量场和向量场

> 场论内容较为抽象，初学者可以参考 [高等数学](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1879) 配合学习
 
 
### 数量场和向量场
本书的场论内容实际上从讲方向导数时引入梯度向量就开始了，然后陆续引入了散度和通量，旋度和环流量，势函数等场论的基本概念．其中最主要的是三大公式：Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式．又对于平面和空间分别得到了 Green定理。这里只是作一个小结。

注意在场论中普遍使用 nabla 算子 $\nabla$ 。
以下都在空间 $R ^3$ 中来叙述。

## 数量场和向量场
在区域 $D \subset R$ 上定义的数值函数 $f(x, y, z)$ 称为 $D$ 上的**数量场**，同样，在 $D$ 上定义的向量值函数 $a (x, y, z)=(P, Q, R)$ 称为 $D$ 上的**向量场**．

对于数量场 $f$ 有梯度

$$
\operatorname{grad} f=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

即生成了一个向量场，称为 $f$ 的梯度场，$f$ 就是这个梯度场的势函数．如前所述，梯度反映了 $f$ 增长的最快方向和大小．

对于向量场 $a =(P, Q, R)$ 有散度
$$
\operatorname{div} a =\nabla \cdot a =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$

即生成了一个数量场，称为 $a$ 的散度场．如前所述，散度反映了流体速度场中的＂源＂和＂汇＂。

从向量场 $a =(P, Q, R)$ 还有旋度

$$
\begin{aligned}
\operatorname{rot} a & =\nabla \times a =\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P &

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