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数学分析
不定型极限
日期:
2023-10-18 14:27
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不定型极限
**分母为零** 在数学中,一般我们做初等计算时规定分数的分母不能为零,这是因为在除法运算时结果是唯一的,而分母为零时则不同,如果 $a \neq 0$ ,那么 $\frac{a}{0}=\infty$ ,在一般的实数集上没有结果(它的结果是无穷大量,是极限过程中的变量);如果 $a=0$ ,那么 $\frac{a}{0} \in \mathbb{R}$ ,也就是说实数集上的任何一个数都有可能是它的结果,我们就把后者称为未定式。 但是,单纯从两个数的比是无法得出未定式的结果的,但在研究函数时,往往有可能从极限过程中得出类似形式的结果,这也就是下面要讨论的未定式以及洛必达法则。 ## 基本不定型 以极限过程 $x \rightarrow x_0$ 为例,其它的五种亦然:定义在去心邻域 $U^{\circ}\left(x_0\right)$ 内可导函数 $f(x), g(x)$ ,如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=0$ ,就称 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\frac{0}{0}$ 型末定式。 函数 $f(x), g(x)$ 在 $x \rightarrow x_0$ 的过程中是无穷小量,切不可只理解为 $\frac{0}{0}$ 型未定式的分子和分母为常数零 (虽然这种也算未定式)。 类似地,另外一种不定型为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型,以极限过程 $x \rightarrow x_0$ 为例,其它的五种亦然:定义在去心邻域 $U^{\circ}\left(x_0\right)$ 内可导函数 $f(x), g(x)$ ,如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=\infty$ ,就称 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式。 同样,函数 $f(x), g(x)$ 在 $x \rightarrow x_0$ 的过程中是无穷大量,分子和分母的无穷大量的符号可正可负。由于无穷大量的倒数是无穷小量,所以 $\frac{\infty}{\infty}$ 型可化为 $\frac{0}{0}$ 型。 ## 其它不定型 除了上述两种基本不定型外,还有其它常见的不定型,它们都可以转化为基本不定型,以下是例子(以极限过程 $x \to x_0$ 为例,其它的五种亦然)。 ![图片](/uploads/2023-10/image_20231018133ea37.png) ## L' Hospital 法则 。 将不定式极限都处理成 $\frac{0}{0}$ 型之后,可以使用 L' Hospital 法则来求解极限。 并不是所有的不定时极限都有解,但有时未定式有解但这个法则却不适用,所以这个法则有时会失效。 ## Stolz 定理 对于数列的未定式,可以使用 Heine 定理归结为函数极限问题,也可以使用 Stolz 定理,这个定理相当于数列极限的 L' Hospital 法则。 $\frac{*}{\infty}$ 型的 Stolz 定理是,若数列 $\left\{a_n\right\}$ 是严格单调递增的无穷大量,且 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=l \in \overline{\mathbb{R}} . $$ 则 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{a_n}=l $$
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