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保守场

## 保守场
设 $D$ 是二维或三维单连通区域， $a$ 是 $D$ 上的向量场．将 Green 格林定理的内容重新叙述就可以写为保守场的定义。

**定义** 称向量场 $a$ 为保守场，若以下等价条件之一成立：
（1）对 $D$ 内任意闭曲线 $C$ 有 $\oint_C a \cdot d r =0$（无环流场）；
（2）在 $D$ 内 $\operatorname{rot} a = 0$（无旋场）；
（3）存在 $\varphi$ ，使得 $a =\nabla \varphi$（有势场或梯度场）．
注 这就是用场论的语言重新叙述前面的 Green 定理：

**无环流场 $\Longleftrightarrow$ 保守场 $\Longleftrightarrow$ 有势场 $($ 梯度场 $) \Longleftrightarrow$ 无旋场。**

相应地还可以建立以下结论：

**无源场 $\Longleftrightarrow$ 旋度场 $\Longleftrightarrow$ 无通量场（管量场）**

其中无源场指散度处处为 0 的向量场，旋度场是说它是某一个向量场生成的旋度场，无通量场指任何封闭曲面的通量为 0 ．管量场指对于由向量场决定的场线做成的管状区域来说，通过任何截面的流量相同。

最后再对于 Green 公式作一点补充说明。从 Stokes 斯托克斯公式的形式已经可以看出它以 Green 公式为其特例．事实上，只要 $a =(P, Q, R)$ 中 $R \equiv 0$ ，而 $P, Q$ 与 $z$ 无关，则就得到 Green 公式。

以下说明 Green 公式也是 Gauss 公式的特例．这里的一种推导方法是考虑平面上的封闭曲线的通量计算．这时 $a =(P, Q)$ ，记曲线的单位外法向量为 $n$ ，则经过 $C=\partial D$ 流出的通量就是

$$
\boxed{
\oint_{\partial D}(P, Q) \cdot n d s .
}
$$

记 $\tau$ 为曲线 $C$ 沿正向的单位切向量，则就有 $d r =( d x, d y)= \tau d s$ ．利用单位外法向量 $n$ 与 $\tau$ 的关系，可见有 $n d s=( d y,- d x)$ ．因此可以写出上述通量的非向量形式，然后用 Green 公式得到

$$
\oint_{\partial D} P d y-Q d x=\iint_D\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) d x d y .
$$

可见对于二维情况的散度恰好就是 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}$ ，这与三维情况完全一致．．
在很多文献中也将上述最后一个等式称为 Green 公式．
由此可见，Green 公式既可以如 Gauss 公式那样，理解为从封闭曲线流出的通量就是内部散度之和，也可以如 Stokes 公式那样，理解为封闭曲线上的环流量就是内部旋度之和．

##  力、能、场、势
经典物理研究的一个重要对象就是[力](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1656)。比如牛顿力学的核心就是[牛顿第二定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=972) $F=m a$，剩下的什么[平抛运动](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1075)、[圆周运动](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1076)、[简谐运动](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=992)等可以用经典力学加上微积分推出来。
但是力有一点不好，它是个向量（既有大小又有方向），所以**即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死**。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。 能量说到底就是力在空间上的积分（能量=功=[力&#215;距离](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1693)），所以能和力是有紧密联系的，而且能量是个标量，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。

在电磁学里，我们通过力定义出了场的概念，主要包括[电场](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1055)与[磁场](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1767)。其中还有一个重要的结论：变换的电场产生磁场，变换的磁场产生电场，基于此，麦克斯韦预测了[电磁波](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1813)的存在。

我们注意磁场对运动电荷也有力的租用，并命名为[洛伦兹力(高中版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1004),  受限与高中数学知识，在高中里，讨论的磁场是均匀的，粒子运动的速度是匀变速的，方向是垂直的，总之就是尽可能的完美（参考下图）。
 
 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240108bd60403.png)
 
 
 但是实际中粒子的速度可能随时改变，磁场也不是各处一样大，所以
到了大学开始从微积分角度看待洛仑兹力，洛仑兹力写成向量乘法的形式是 $F=q(v \times B)$ 详见[洛伦兹力(大学版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1165)

为了和本文后面对应，现在我们捋一捋$F=q(v \times B)$这个公式的物理意义（参考下图），这对理解后面介绍的向量的乘法很有意义。

![图片](/uploads/2024-01/image_202401113fc9d42.png){width=300px}

四个物理量：(1)$q$:一个点电荷 (2)$v$:点电荷的运动速度 (3)$B$:磁场的强度(4)$F$:点电荷受到的力

> **整个表达式的意思是**：一个粒子$q$在磁场里运动，运动速度$v$和磁场强度$B$之间的夹角为$\theta$，那么粒子会受到洛伦兹力$F$的作用,力$F$的方向垂直于$v$和$B$张成的平面，力的大小是$F=q   (v \times B)$

我们不管数学上如何定义[向量的内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)或[向量的叉乘](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1537), 我们仅从物理上分析， 因为，F是矢量，所以就要求我们，$q  (v \times B)$的结果页必须是矢量。

现在我们把上面矢量换成数学语言：设三向量 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b} ， \boldsymbol{c}$ ，先作向量积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，再作数量积 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$ ，记作 $[a b c]$ ，称为三个向量 $a ， b ， c$ 的混合积.
这就是我们《高等数学》里，学习的[向量的混合积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=356)

![图片](/uploads/2022-12/image_202212301959b62.png){width=300px}

继续，具体物理细节不谈，单从数学上看这个公式就会发现力和电荷（或电荷&#215;速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷&#215;速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。

也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷&#215;速度），剩下的部分便是势。

一张图表明关系：
 ![图片](/uploads/2025-01/6d6f67.jpg)

### 保守力场
一个显而易见的答案是＂保守力场＂。在这样一个场中，能量（做功）不取决于你选择什么样的路径。打个比方，你爬一座山，无论选择什么路径，只要起点和终点一样，那么垂直方向上的差别都是一样的，做的功也一样多。在这种情况下，我们对力场有了诸多限制，也就是说，我假如知道了一个保守力场的$x$一个分量，那么另两个分量$yz$就随之确定了，我没得选（自由度其实只有一个标量场）。有了保守力场这样的额外限制，向量场 $F$（3个标量场）和（1个）标量场$V$之间的转化便不会失去信息了。具体而言，二者关系可以写作 $F =-\nabla V$ 。这里不说具体细节，你只要知道 $\nabla$ 是一种固定的，把一个标量场变成三个标量场的算法就可以了（这个通常叫做算子）。

那么我们想问，电场和磁场是不是保守力场呢？很不幸，不是。就像我们在热学学过的，在热量传递过程中，能量一定有损失，想让机器功率达到100%是不可能的一样。 在静电学中，静止的电场是保守的，但在电动力学中，只要有变化的电场和磁场，电场就不是一个保守力场了；而磁场从来都不是保守力场。这也就是说明，在电磁学中，我们很少涉及能量这个概念，因为它不能完整地描述一个电磁场。我们更多时候只关注＂场＂这个概念，

尽管因此我们不得不涉足很多向量微积分，但我们没有办法，这是不让信息丢掉的唯一办法。那么，既然势也是标量，它是否也是一个没什么用的概念呢？恰恰相反，在电动力学中我们定义出了＂向量势＂vector potential，以保留额外的自由度。

总而言之， 那就是电磁学的主要研究对象是电场和磁场，而麦克斯韦方程组就是描述电场和磁场的方程。势（包括电势和磁向量势）也是有用的概念，而且不像引力势是一个标量，在电磁学中势不得不变成一个向量。

更多内容参考高等数学 [麦克斯韦方程组](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1879)

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