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保守场

## 保守场
设 $D$ 是二维或三维单连通区域， $a$ 是 $D$ 上的向量场．将 Green 格林定理的内容重新叙述就可以写为保守场的定义。

**定义** 称向量场 $a$ 为保守场，若以下等价条件之一成立：
（1）对 $D$ 内任意闭曲线 $C$ 有 $\oint_C a \cdot d r =0$（无环流场）；
（2）在 $D$ 内 $\operatorname{rot} a = 0$（无旋场）；
（3）存在 $\varphi$ ，使得 $a =\nabla \varphi$（有势场或梯度场）．
注 这就是用场论的语言重新叙述前面的 Green 定理：

**无环流场 $\Longleftrightarrow$ 保守场 $\Longleftrightarrow$ 有势场 $($ 梯度场 $) \Longleftrightarrow$ 无旋场。**

相应地还可以建立以下结论：

**无源场 $\Longleftrightarrow$ 旋度场 $\Longleftrightarrow$ 无通量场（管量场）**

其中无源场指散度处处为 0 的向量场，旋度场是说它是某一个向量场生成的旋度场，无通量场指任何封闭曲面的通量为 0 ．管量场指对于由向量场决定的场线做成的管状区域来说，通过任何截面的流量相同。

最后再对于 Green 公式作一点补充说明。从 Stokes 斯托克斯公式的形式已经可以看出它以 Green 公式为其特例．事实上，只要 $a =(P, Q, R)$ 中 $R \equiv 0$ ，而 $P, Q$ 与 $z$ 无关，则就得到 Green 公式。

以下说明 Green 公式也是 Gauss 公式的特例．这里的一种推导方法是考虑平面上的封闭曲线的通量计算．这时 $a =(P, Q)$ ，记曲线的单位外法向量为 $n$ ，则经过 $C=\partial D$ 流出的通量就是

$$
\boxed{
\oint_{\partial D}(P, Q) \cdot n d s .
}
$$

记 $\tau$ 为曲线 $C$ 沿正向的单位切向量，则就有 $d r =( d x, d y)= \tau d s$ ．利用单位外法向量 $n$ 与 $\tau$ 的关系，可见有 $n d s=( d y,- d x)$ ．因此可以写出上述通量的非向量形式，然后用 Green 公式得到

$$
\oint_{\partial D} P d y-Q d x=\iint_D\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) d x d y .
$$

可见对于二维情况的散度恰好就是 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}$ ，这与三维情况完全一致．．
在很多文献中也将上述最后一个等式称为 Green 公式．
由此可见，Green 公式既可以如 Gauss 公式那样，理解为从封闭曲线流出的通量就是内部散度之和，也可以如 Stokes 公式那样，理解为封闭曲线上的环流量就

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