最后更新: 2025-10-22 11:16 查看: 48 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

平面图形的面积与面积上的积分

## 面积
 在一元定积分里，我们从曲边梯形的面积开始，引出了计算一元定积分就是求曲边梯形的面积，并给出了定积分是否存由其面积是否存在决定。这里的缺点是将面积是否存在归结为相应的定积分是否存在，有目的和手段有混淆之疑。一种较为合理的观点是将积分看成为计算面积的一种手段，而对平面图形的面积应当给出独立的定义。

### 有界图形面积

所谓一个平面图形 $P$ 是有界的，是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，即存在一矩形 $R$ ，使得 $P \subset R$ ．

设 $P$ 是一平面有界图形，用某一平行于坐标轴的一组直线网 $T$ 分割这个图形（图 21－1）．

![图片](/uploads/2025-10/1eb7fc.jpg){width=300px}

这时直线网 $T$ 的网眼——小闭矩形 $\Delta_i$ 可分为三类：
（i）$\Delta_i$上的点都是 $P$ 的内点，
（ii）$\Delta_i$ 上的点都是 $P$ 的外点，
（iii）$\Delta_i$ 上含有 $P$ 的边界点．

我们将所有属于直线网 $T$ 的第（i）类小矩形 （图 21－1 中阴影部分）的面积加起来，记这个和数为 $s_P(T)$ ，则有 $s_P(T) \leqslant \Delta_R$（这里 $\Delta_R$ 表示包含 $P$ 的那个矩形 $R$ 的面积）；将所有第（i）类与第（iii）类小矩形（图 21－1 中含有粗线的小矩形）的面积加起来，记这个和数为 $S_P(T)$ ，则有 $s_P(T) \leqslant S_P(T)$ ．

由确界存在定理可以推得，对于平面上所有直线网，数集 $\left\{s_P(T)\right\}$ 有上确界，数集 $\left\{S_p(T)\right\}$ 有下确界，记

$$
\underline{I}_P=\sup _T\left\{s_P(T)\right\}, \quad \bar{I}_P=\inf _T\left\{S_P(T)\right\}
$$

显然有

$$
0 \leqslant I_P \leqslant \bar{I}_P ...(1)
$$

通常称 $\underline{I}_P$ 为 $P$ 的**内面积**， $\bar{I}_P$ 为 $P$ 的**外面积**．

**定义1** 若平面图形 $P$ 的内面积 $\underline{I}_P$ 等于它的外面积 $\bar{I}_P$ ，则称 $P$ 为可求面积，并称其共同值 $I_P=\underline{I}_P=\bar{I}_P$ 为 $P$ 的**面积**．

**定理21.1** 平面有界图形 $P$ 可求面积的充要条件是：对任给的 $\varepsilon>0$ ，总存在直线网 $T$ ，使得

$$
S_P(T)-s_P(T)<\varepsilon . ...(2)
$$

证［必要性］设平面有界图形 $P$ 的面积为 $I_P$ ．由定义 1，有 $I_P=\underline{I}_P=\bar{I}_P$ ．对任给的 $\varepsilon>0$ ，由 $\underline{I}_P$ 及 $\bar{I}_P$ 的定义知道，分别存在直线网 $T_1$ 与 $T_2$ ，使得

$$
s_P\left(T_1\right)>I_P-\frac{\varepsilon}{2}, \quad S_P\left(T_2\right)<I_P+\frac{\varepsilon}{2} ...(3)
$$

记 $T$ 为由 $T_1$ 与 $T_2$ 这两个直线网合并所成的直线网，可证得

$$
s_p\left(T_1\right) \leqslant s_p(T), \quad S_p\left(T_2\right) \geqslant S_p(T) .
$$

于是由（3）可得

$$
s_P(T)>I_P-\frac{\varepsilon}{2}, \quad S_P(T)<I_P+\frac{\varepsilon}{2} .
$$

从而得到对直线网 $T$ 有 $S_P(T)-s_P(T)<\varepsilon$ ．
［充分性］设对任给的 $\varepsilon>0$ ，存在某直线网 $T$ ，使得（2）式成立．但

$$
s_P(T) \leqslant \underline{I}_P \leqslant \bar{I}_P \leqslant S_P(T) .
$$

所以

$$
\bar{I}_P-\underline{I}_P \leqslant S_P(T)-s_P(T)<\varepsilon .
$$

由 $\varepsilon$ 的任意性可得 $I_P=\bar{I}_P$ ，因而平面图形 $P$ 可求面积．

由不等式（1）及定理 21．1 立即可得：

> **推论** 平面有界图形 $P$ 的面积为零

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：没有了

下一篇：二重积分几何意义、定义与性质

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)