最后更新: 2025-10-22 11:16 查看: 76 次纠错评论(0) 课件开VIP

平面图形的面积与面积上的积分

## 面积
 在一元定积分里，我们从曲边梯形的面积开始，引出了计算一元定积分就是求曲边梯形的面积，并给出了定积分是否存由其面积是否存在决定。这里的缺点是将面积是否存在归结为相应的定积分是否存在，有目的和手段有混淆之疑。一种较为合理的观点是将积分看成为计算面积的一种手段，而对平面图形的面积应当给出独立的定义。

### 有界图形面积

所谓一个平面图形 $P$ 是有界的，是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，即存在一矩形 $R$ ，使得 $P \subset R$ ．

设 $P$ 是一平面有界图形，用某一平行于坐标轴的一组直线网 $T$ 分割这个图形（图 21－1）．

![图片](/uploads/2025-10/1eb7fc.jpg){width=300px}

这时直线网 $T$ 的网眼——小闭矩形 $\Delta_i$ 可分为三类：
（i）$\Delta_i$上的点都是 $P$ 的内点，
（ii）$\Delta_i$ 上的点都是 $P$ 的外点，
（iii）$\Delta_i$ 上含有 $P$ 的边界点．

我们将所有属于直线网 $T$ 的第（i）类小矩形 （图 21－1 中阴影部分）的面积加起来，记这个和数为 $s_P(T)$ ，则有 $s_P(T) \leqslant \Delta_R$（这里 $\Delta_R$ 表示包含 $P$ 的那个矩形 $R$ 的面积）；将所有第（i）类与第（iii）类小矩形（图 21－1 中含有粗线的小矩形）的面积加起来，记这个和数为 $S_P(T)$ ，则有 $s_P(T) \leqslant S_P(T)$ ．

由确界存在定理可以推得，对于平面上所有直线网，数集 $\left\{s_P(T)\right\}$ 有上确界，数集 $\left\{S_p(T)\right\}$ 有下确界，记

$$
\underline{I}_P=\sup _T\left\{s_P(T)\right\}, \quad \bar{I}_P=\inf _T\left\{S_P(T)\right\}
$$

显然有

$$
0 \leqslant I_P \leqslant \bar{I}_P ...(1)
$$

通常称 $\underline{I}_P$ 为 $P$ 的**内面积**， $\bar{I}_P$ 为 $P$ 的**外面积**．

**定义1** 若平面图形 $P$ 的内面积 $\underline{I}_P$ 等于它的外面积 $\bar{I}_P$ ，则称 $P$ 为可求面积，并称其共同值 $I_P=\underline{I}_P=\bar{I}_P$ 为 $P$ 的**面积**．

**定理21.1** 平面有界图形 $P$ 可求面积的充要条件是：对任给的 $\varepsilon>0$ ，总存在直线网 $T$ ，使得

$$
S_P(T)-s_P(T)<\varepsilon . ...(2)
$$

证［必要性］设平面有界图形 $P$ 的面积为 $I_P$ ．由定义 1，有 $I_P=\underline{I}_P=\bar{I}_P$ ．对任给的 $\varepsilon>0$ ，由 $\underline{I}_P$ 及 $\bar{I}_P$ 的定义知道，分别存在直线网 $T_1$ 与 $T_2$ ，使得

$$
s_P\left(T_1\right)>I_P-\frac{\varepsilon}{2}, \quad S_P\left(T_2\right)<I_P+\frac{\varepsilon}{2} ...(3)
$$

记 $T$ 为由 $T_1$ 与 $T_2$ 这两个直线网合并所成的直线网，可证得

$$
s_p\left(T_1\right) \leqslant s_p(T), \quad S_p\left(T_2\right) \geqslant S_p(T) .
$$

于是由（3）可得

$$
s_P(T)>I_P-\frac{\varepsilon}{2}, \quad S_P(T)<I_P+\frac{\varepsilon}{2} .
$$

从而得到对直线网 $T$ 有 $S_P(T)-s_P(T)<\varepsilon$ ．
［充分性］设对任给的 $\varepsilon>0$ ，存在某直线网 $T$ ，使得（2）式成立．但

$$
s_P(T) \leqslant \underline{I}_P \leqslant \bar{I}_P \leqslant S_P(T) .
$$

所以

$$
\bar{I}_P-\underline{I}_P \leqslant S_P(T)-s_P(T)<\varepsilon .
$$

由 $\varepsilon$ 的任意性可得 $I_P=\bar{I}_P$ ，因而平面图形 $P$ 可求面积．

由不等式（1）及定理 21．1 立即可得：

> **推论** 平面有界图形 $P$ 的面积为零的充要条件是它的外面积 $\bar{I}_P=0$ ，即对任给的 $\varepsilon>0$ ，存在直线网 $T$ ，使得 $S_P(T)<\varepsilon$
或对任给的 $\varepsilon>0$ ，平面图形 $P$ 能被有限个其面积总和小于 $\varepsilon$ 的小矩形所覆盖．

### 面积可计算的充要条件

**定理21.2** 平面有界图形 $P$ 可求面积的充要条件是：$P$ 的边界 $K$ 的面积为零。
证 由定理 21．1，$P$ 可求面积的充要条件是：对任给的 $\varepsilon>0$ ，存在直线网 $T$ ，使得 $S_P(T)-s_P(T)<\varepsilon$ ．由于

$$
S_K(T)=S_P(T)-s_P(T)
$$

所以也有 $S_K(T)<\varepsilon$ ．由上述推论，$P$ 的边界 $K$ 的面积为零．

**定理 21.3** 若曲线 $K$ 为定义在 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 的图像，则曲线 $K$ 的面积为零．

证 由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，所以它在 $[a, b]$ 上一致连续．因而对任给的 $\varepsilon>0$ ，总存在 $\delta>0$ ，当把区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]\left(i=1,2, \cdots, n, x_0=a, x_n=b\right)$并且满足

$$
\max \left\{\Delta x_i=x_i-x_{i-1} \mid i=1,2, \cdots, n\right\}<\delta
$$

时，可使 $f(x)$ 在每个小区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上的振幅都成立 $\omega_i<\frac{\varepsilon}{b-a}$ ．现把曲线 $K$ 按自变量 $x=x_0, x_1, \cdots, x_n$ 分成 $n$ 个小段，这时每一个小段都能被以 $\Delta x_i$ 为宽，$\omega_i$ 为高的小矩形所覆盖．由于这 $n$ 个小矩形面积的总和为

$$
\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\frac{\varepsilon}{b-a} \sum_{i=1}^n \Delta x_i=\varepsilon
$$

所以由定理 21.1 的推论即得曲线 $K$ 的面积为零．

我们还可证明：由参量方程 $x=\varphi(t), y=\psi(t)(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$ 所表示的平面光滑曲线 （即 $\varphi, \psi$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有连续的导函数）或按段光滑曲线，其面积一定为零。

**推论1** 参数方程 $x=\varphi(t), y=\psi(t), t \in[\alpha, \beta]$ 所表示的光滑曲线 $K$ 的面积为零。
证 由光滑曲线的定义，$\varphi^{\prime}(t), \psi^{\prime}(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上连续且不同时为零。对任意 $t_0 \in [\alpha, \beta]$ ，不妨设 $\varphi^{\prime}\left(t_0\right) \neq 0$ ，于是存在 $t_0$ 的邻域 $U\left(t_0\right)$ ，使得 $x=\varphi(t)$ 在此邻域上严格单调，从而存在反函数 $t=\varphi^{-1}(x)$ ．再由有限覆盖定理可把 $[\alpha, \beta]$ 分成有限段：$\alpha=t_0<t_1<\cdots <t_n=\beta$ ，在每一小区间段上，$y=\psi\left(\varphi^{-1}(x)\right)$ 或 $x=\varphi\left(\psi^{-1}(y)\right)$ 。由定理21．3，每一小段的曲线面积为零，因此整条曲线面积为零．

**推论2** 由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的．

注1 为简单起见，以下讨论的有界闭区域都是指分段光滑曲线所围成的有界闭区域，从而都是可求面积的．

注2，并不是所有有界平面点集都是可求面积的．例如，平面点集

$$
S=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant D(x)\}
$$

就不可求面积，这里

$$
D(x)= \begin{cases}1, & x \text { 为有理数, } \\ 0, & x \text { 为无理数 }\end{cases}
$$

为狄利克雷 Dirichlet 函数．事实上，$S$ 的边界为 $\partial S=[0,1] \times[0,1]$ ，它的面积为 1 ．这说明 $S$ 不是可求面积的．

## 矩形A上的积分定义

### 一.矩形的分划
设 $A=[a, b] \times[c, d](=[a, b ; c, d])$ 是 $R ^2$ 内的一个闭矩形，又设
$x_0=a<x_1<\cdots<x_n=b$ 是 $[a, b]$ 的一个分划，
$y_0=c<y_1<\cdots<y_m=d$ 是 $[c, d]$ 的一个分划，

则就可以在矩形内用直线 $x=x_i$ 和 $y=y_j(i=1, \cdots, m ; j=1, \cdots, n)$ 对矩形 $A$作出一个分划，这就是将 $A$ 分划为 $m n$ 个子闭矩形

$$
A_{i j}=\left[x_{i-1}, x_i\right] \times\left[y_{j-1}, y_j\right], \quad i=1, \cdots, n ; j=1, \cdots, m
$$

又记

$$
d_{i j}=\sqrt{\left(x_i-x_{i-1}\right)^2+\left(y_j-y_{j-1}\right)^2}
$$

即 $A_{i j}$ 的直径．
将上述分划记为

$$
P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_m ; y_0, y_1, \cdots, y_n\right\}
$$

并用

$$
\|P\|=\max _{i, j} d_{i j}
$$

作为 $A$ 的上述分划的**细度**．（部分教科书中称为长度，这不妥．）

记完全包含于 $D$ 内的那些小矩形的面积之和为 $m A$ ，与 $\bar{D}$ 的交集非空的那些小矩形的面积之和为 $m B$ ，则显然它们与 $U$ 的划分有关，且有 $m A \leqslant m B$ ．

利用与讨论一元函数定积分的 Darboux 和类似的方法容易证明：若在原有划分的基础上，在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 中再增加有限个分点（所得的新划分称为原来划分的**加细**），则 $m B$ 不增，$m A$ 不减；且任意一种划分所得到的 $m A$  不大于任意一种划分所得到的 $m B$ ．（如上图）

![图片](/uploads/2025-10/6a2d02.jpg){width=200px}

这样，这些 $m A$ 有一个上确界 $m D_* , m B$ 有一个下确界 $m D^{*}$ ，并且

$$
m D_* \leqslant m D^{*}
$$

若 $m D_*=m D^*$ ，则称这个值为 $D$ 的面积，记为 $m D$ ，此时称 $D$ 是可求面积的．
显然 $D$ 的面积与 $U$ 的选取无关。

同样可以考虑 $D$ 的边界 $\partial D$ 的面积．记与 $\partial D$ 的交集非空的那些小矩形的面积之和为 $m B_{\partial D}$ ，若所有 $m B_{\partial D}$ 的下确界 $m \partial D^*=0$（因此 $m \partial D_*=0$ ），则称 $\partial D$ 的面积为零．边界的面积为零的有界区域称为零边界区域。

利用上确界与下确界的定义，通过取加细的方法可以证明 $D$ 是可求面积的充分必要条件是：对于任意给定的 $\varepsilon>0$ ，存在 $U$ 的一个划分，使得

$$
m B-m A\left(=m B_{\partial D}\right)<\varepsilon .
$$

所以有
**定理** 有界点集 $D$ 是可求面积的充分必要条件是它的边界 $\partial D$ 的面积为 0 ．因此零边界区域是可求面积的．

### 二．矩形 $A$ 上的积分定义
$f$ 是定义于 $A$ 上的二元函数。现在仿照一元函数的 Riemann 积分定义，任取介点 $P_{i j}\left(\xi_i, \eta_j\right) \in A_{i j}$ ，并构造出 Riemann 和

$$
\sum_{i j} f\left(P_{i j}\right) \Delta x_i \Delta y_j=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f\left(\xi_i, \eta_j\right) \Delta x_i \Delta y_j
$$

其中 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \Delta y_j=y_j-y_{j-1}$ ．
若在分划 $P$ 的细度 $\|P\| \rightarrow 0$ 时，与分划和介点无关地，上述 Riemann 和有极限，则称 $f$ 在 $A$ 上 **黎曼Riemann可积**，将此极限值定义为 $f$ 在矩形 $A$ 上的**二重积分**，记为
$$
\boxed{
\iint_A f(x, y) d x d y=\int_a^b \int_c^d f(x, y) d x d y
}
$$

并称 $f$ 为**被积函数**，称 $A$ 为**积分区域**．也可以简记为 $\iint_A f$ ．
与一元函数的 Riemann 积分相同，可以证明若 $f$ 于矩形 $A$ 上 Riemann 可积，则 $f$ 在 $A$ 上一定有界。此外同样可以引入 $f$ 在矩形 $A$ 上的Darboux 上和与 Darboux 下和，并证明有关的性质。具体来说，对每个子闭矩形 $A_{i j}$ ，令

$$
M_{i j}=\sup _{P \in A_{i j}} f(P), \quad m_{i j}=\inf _{P \in A_{i j}} f(P)
$$

然后就可以分别定义 Darboux 上和与下和为

$$
\begin{aligned}
& \bar{S}_P=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m M_{i j} \Delta x_i \Delta y_j \\
& \underline{S}_P=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m m_{i j} \Delta x_i \Delta y_j
\end{aligned}
$$

将它们相减，并引入振幅

$$
\omega_{i j}=M_{i j}-m_{i j}
$$

则就得到与一元函数积分中振幅面积对应的和式
$$
\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \omega_{i j} \Delta x_i \Delta y_j
\end{aligned}
$$

可以称为**振幅体积**．它对于可积性的判定是有用处的．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：没有了

下一篇：二重积分几何意义、定义与性质

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)