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矩形上的二重积分

$\S 21.1$ 矩形上的二重积分
一．矩形的分划
设 $A=[a, b] \times[c, d](=[a, b ; c, d])$ 是 $R ^2$ 内的一个闭矩形，又设
$x_0=a<x_1<\cdots<x_n=b$ 是 $[a, b]$ 的一个分划，
$y_0=c<y_1<\cdots<y_m=d$ 是 $[c, d]$ 的一个分划，
则就可以在矩形内用直线 $x=x_i$ 和 $y=y_j(i=1, \cdots, m ; j=1, \cdots, n)$ 对矩形 $A$作出一个分划，这就是将 $A$ 分划为 $m n$ 个子闭矩形

$$
A_{i j}=\left[x_{i-1}, x_i\right] \times\left[y_{j-1}, y_j\right], \quad i=1, \cdots, n ; j=1, \cdots, m
$$

又记

$$
d_{i j}=\sqrt{\left(x_i-x_{i-1}\right)^2+\left(y_j-y_{j-1}\right)^2}
$$

即 $A_{i j}$ 的直径．
将上述分划记为

$$
P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_m ; y_0, y_1, \cdots, y_n\right\}
$$

并用

$$
\|P\|=\max _{i, j} d_{i j}
$$

作为 $A$ 的上述分划的细度．（教科书中称为长度，这不妥．）

二．矩形 $A$ 上的积分定义
$f$ 是定义于 $A$ 上的二元函数。现在仿照一元函数的 Riemann 积分定义，任取介点 $P_{i j}\left(\xi_i, \eta_j\right) \in A_{i j}$ ，并构造出 Riemann 和

$$
\sum_{i j} f\left(P_{i j}\right) \Delta x_i \Delta y_j=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f\left(\xi_i, \eta_j\right) \Delta x_i \Delta y_j
$$

其中 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \Delta y_j=y_j-y_{j-1}$ ．
若在分划 $P$ 的细度 $\|P\| \rightarrow 0$ 时，与分划和介点无关地，上述 Riemann 和有极限，则称 $f$ 在 $A$ 上 Riemann 可积，将此极限值定义为 $f$ 在矩形 $A$ 上的二重积分，记为
$$
\iint_A f(x, y) d x d y=\int_a^b \int_c^d f(x, y) d x d y
$$

并称 $f$ 为被积函数，称 $A$ 为积分区域．也可以简记为 $\iint_A f$ ．
与一元函数的 Riemann 积分相同，可以证明若 $f$ 于矩形 $A$ 上 Riemann 可积，则 $f$ 在 $A$ 上一定有界。此外同样可以引入 $f$ 在矩形 $A$ 上的Darboux 上和与 Darboux 下和，并证明有关的性质。具体来说，对每个子闭矩形 $A_{i j}$ ，令

$$
M_{i j}=\sup _{P \in A_{i j}} f(P), \quad m_{i j}=\inf _{P \in A_{i j}} f(P)
$$

然后就可以分别定义 Darboux 上和与下和为

$$
\begin{aligned}
& \bar{S}_P=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m M_{i j} \Delta x_i \Delta y_j \\
& \underline{S}_P=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m m_{i j} \Delta x_i \Delta y_j
\end{aligned}
$$

将它们相减，并引入振幅

$$
\omega_{i j}=M_{i j}-m_{i j}
$$

则就得到与一元函数积分中振幅面积对应的和式
$$
\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \omega_{i j} \Delta x_i \Delta y_j\\
&\text { 可以称为振幅体积．它对于可积性的判定是有用处的．}
\end{aligned}
$$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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