最后更新: 2025-10-22 11:36 查看: 31 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二重积分几何意义、定义与性质

## 二重积分的定义及其存在性
先讨论一个几何问题——求**曲顶柱体**的体积．设 $f(x, y)$ 为定义在可求面积的有界闭区域 $D$ 上的非负连续函数．求以曲面 $z=f(x, y)$ 为顶，$D$ 为底的柱体（图21－2）的体积 $V$ 。

采用类似于求曲边梯形面积的方法．先用一组平行于坐标轴的直线网 $T$ 把区域 $D$分成 $n$ 个小区域 $\sigma_i(i=1,2, \cdots, n)$（称 $T$ 为区域 $D$ 的一个分割）。以 $\Delta \sigma_i$ 表示小区域 $\sigma_i$的面积．这个直线网也相应地把曲顶柱体分割成 $n$ 个以 $\sigma_i$ 为底的小曲顶柱体 $V_i(i=1$ ， $2, \cdots, n)$ 。由于 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，故当每个 $\sigma_i$ 的直径都很小时，$f(x, y)$ 在 $\sigma_i$ 上各点的函数值都相差无几，因而可在 $\sigma_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i\right)$ ，用以 $f\left(\xi_i, \eta_i\right)$ 为高，$\sigma_i$ 为底的小平顶柱体的体积 $f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i$ 作为 $V_i$ 的体积 $\Delta V_i$ 的近似值（如图 21－3），即

![图片](/uploads/2025-10/38d47e.jpg){width=500px}
 
 $$
\Delta V_i \approx f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i .
$$

把这些小平顶柱体的体积加起来，就得到曲顶柱体体积 $V$ 的近似值

$$
V=\sum_{i=1}^n \Delta V_i \approx \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i .
$$

当直线网 $T$ 的网眼越来越细密，即分割 $T$ 的细度 $\|T\|=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} d_i\left(d_i\right.$ 为 $\sigma_i$ 的直径）趋于零时，就有

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i \rightarrow V
$$

至此，读者已经看到，求曲顶柱体的体积也与定积分概念一样，是通过＂**分割、近似求和、取极限**＂这三个步骤得到的，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数．这类问题在物理学与工程技术中也常遇到，如求**非均匀平面的质量、质心、转动惯量等**．这些都是所要讨论的二重积分的实际背景．

## 二重积分的定义
下面叙述定义在平面有界闭区域上函数 $f(x, y)$ 的二重积分的概念．
设 $D$ 为 $x y$ 平面上可求面积的有界闭区域，$f(x, y)$ 为定义在 $D$ 上的函数．用任意的曲线把 $D$ 分成 $n$ 个可求面积的小区域

$$
\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n .
$$

以 $\Delta \sigma_i$ 表示小区域 $\sigma_i$ 的面积，这些小区域构成 $D$ 的一个分割 $T$ ，以 $d_i$ 表示小区域 $\sigma_i$的直径，称 $\|T\|=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} d_i$ 为分割 $T$ 的**细度**．在每个 $\sigma_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i\right)$ ，作和式

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i .
$$

称它为函数 $f(x, y)$

其他版本
【高等数学】二重积分的概念

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