最后更新: 2025-10-22 11:36 查看: 95 次纠错评论(0) 课件开VIP

二重积分几何意义、定义与性质

## 二重积分的定义及其存在性
先讨论一个几何问题——求**曲顶柱体**的体积．设 $f(x, y)$ 为定义在可求面积的有界闭区域 $D$ 上的非负连续函数．求以曲面 $z=f(x, y)$ 为顶，$D$ 为底的柱体（图21－2）的体积 $V$ 。

采用类似于求曲边梯形面积的方法．先用一组平行于坐标轴的直线网 $T$ 把区域 $D$分成 $n$ 个小区域 $\sigma_i(i=1,2, \cdots, n)$（称 $T$ 为区域 $D$ 的一个分割）。以 $\Delta \sigma_i$ 表示小区域 $\sigma_i$的面积．这个直线网也相应地把曲顶柱体分割成 $n$ 个以 $\sigma_i$ 为底的小曲顶柱体 $V_i(i=1$ ， $2, \cdots, n)$ 。由于 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，故当每个 $\sigma_i$ 的直径都很小时，$f(x, y)$ 在 $\sigma_i$ 上各点的函数值都相差无几，因而可在 $\sigma_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i\right)$ ，用以 $f\left(\xi_i, \eta_i\right)$ 为高，$\sigma_i$ 为底的小平顶柱体的体积 $f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i$ 作为 $V_i$ 的体积 $\Delta V_i$ 的近似值（如图 21－3），即

![图片](/uploads/2025-10/38d47e.jpg){width=500px}
 
 $$
\Delta V_i \approx f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i .
$$

把这些小平顶柱体的体积加起来，就得到曲顶柱体体积 $V$ 的近似值

$$
V=\sum_{i=1}^n \Delta V_i \approx \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i .
$$

当直线网 $T$ 的网眼越来越细密，即分割 $T$ 的细度 $\|T\|=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} d_i\left(d_i\right.$ 为 $\sigma_i$ 的直径）趋于零时，就有

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i \rightarrow V
$$

至此，读者已经看到，求曲顶柱体的体积也与定积分概念一样，是通过＂**分割、近似求和、取极限**＂这三个步骤得到的，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数．这类问题在物理学与工程技术中也常遇到，如求**非均匀平面的质量、质心、转动惯量等**．这些都是所要讨论的二重积分的实际背景．

## 二重积分的定义
下面叙述定义在平面有界闭区域上函数 $f(x, y)$ 的二重积分的概念．
设 $D$ 为 $x y$ 平面上可求面积的有界闭区域，$f(x, y)$ 为定义在 $D$ 上的函数．用任意的曲线把 $D$ 分成 $n$ 个可求面积的小区域

$$
\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n .
$$

以 $\Delta \sigma_i$ 表示小区域 $\sigma_i$ 的面积，这些小区域构成 $D$ 的一个分割 $T$ ，以 $d_i$ 表示小区域 $\sigma_i$的直径，称 $\|T\|=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} d_i$ 为分割 $T$ 的**细度**．在每个 $\sigma_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i\right)$ ，作和式

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i .
$$

称它为函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上属于分割 $T$ 的一个**积分和**，$\left(\xi_i, \eta_i\right)$ 称为介点．

**定义2** 设 $f(x, y)$ 是定义在可求面积的有界闭区域 $D$ 上的函数．$J$ 是一个确定的数，若对任给的正数 $\varepsilon$ ，总存在某个正数 $\delta$ ，使对于 $D$ 的任何分割 $T$ ，当它的细度 $\|T\|< \delta$ 时，属于 $T$ 的所有积分和都有

$$
\left|\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i-J\right|<\varepsilon, ...(4)
$$

则称 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积，数 $J$ 称为函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的二重积分，记作

$$
\boxed{
J=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma ...(5)
}
$$

其中 $f(x, y)$ 称为二重积分的**被积函数**，$x, y$ 称为**积分变量**，$D$ 称为**积分区域**．

当 $f(x, y) \geqslant 0$ 时，二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 在几何上就表示以 $z=f(x, y)$ 为曲顶，$D$ 为底的曲顶柱体的体积．当 $f(x, y)=1$ 时，二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 的值就等于积分区域 $D$的面积．

由二重积分的定义知道，若 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上可积，则与定积分情况一样，对任何分割 $T$ ，只要当 $\|T\|<\delta$ 时，（4）式都成立．因此为方便计算，常选取一些特殊的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割 $D$ ，则每一小网眼区域 $\sigma$ 的面积 $\Delta \sigma=\Delta x \Delta y$ ．此时通常把 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 记作

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y ...(6)
$$

首先可以像定积分那样类似地证明函数 $f(x, y)$ 在有界、可求面积区域 $D$ 上可积的必要条件是它在 $D$ 上有界。

设函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有界，$T$ 为 $D$ 的一个分割，它把 $D$ 分成 $n$ 个可求面积的小区域 $\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n$ ．令

$$
\begin{aligned}
M_i & =\sup _{(x, y) \in \sigma_i} f(x, y), \\
m_i & =\inf _{(x, y) \in \sigma_i} f(x, y)
\end{aligned}
$$

作和式 $S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta \sigma_i, s(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta \sigma_i$ ．它们分别称为函数 $f(x, y)$ 关于分割 $T$ 的**上和**与**下和**．二元函数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和同样的性质，这里就不再重复．下面列出有关二元函数的可积性定理．我们只给出定理 21.7 的证明，其余请读者自行证明．

**定理21.4** $ f(x, y)$ 在 $D$ 上可积的充要条件是：

$$
\lim _{\|T\| \rightarrow 0} S(T)=\lim _{\|T\| \rightarrow 0} s(T) .
$$

**定理21.5** $ f(x, y)$ 在 $D$ 上可积的充要条件是：对于任给的正数 $\varepsilon$ ，存在 $D$ 的某个分割 $T$ ，使得 $S(T)-s(T)<\varepsilon$ ．

**定理21.6** 有界闭区域 $D$ 上的连续函数必可积．
**定理21.7** 设 $f(x, y)$ 在有界闭域 $D$ 上有界，且其不连续点集 $E$ 是零面积集，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积．

证 对任意 $\varepsilon>0$ ，存在有限个矩形（不含边界）覆盖了 $E$ ，而这些矩形面积之和小于 $\varepsilon$ ．记这些矩形之并集为 $K$ ，则 $D \backslash K$ 是有界闭域（也可能是有限多个不交的有界闭域的并集）．设 $K \cap D$ 的面积为 $\Delta_K$ ，则 $\Delta_K<\varepsilon$ ．由于 $f(x, y)$ 在 $D \backslash K$ 上连续，因此由定理 21.6和定理 21．5，存在 $D \backslash K$ 上的分割 $T_1=\left\{\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n\right\}$ ，使得 $S\left(T_1\right)-s\left(T_1\right)<\varepsilon$ ．令 $T= \left\{\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n, K \cap D\right\}$ ，则 $T$ 是 $D$ 的一个分割．且

$$
S(T)-s(T)=S\left(T_1\right)-s\left(T_1\right)+\omega_K \Delta_K<\varepsilon+\omega \varepsilon
$$

其中 $\omega_K$ 是 $f(x, y)$ 在 $K \cap D$ 上的振幅，$\omega$ 是 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的振幅．由定理 21．5，$f(x, y)$在 $D$ 上可积．

## 二重积分的性质

二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下．
1．若 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上可积，$k$ 为常数，则 $k f(x, y)$ 在 $D$ 上也可积，且

$$
\iint_D k f(x, y) \mathrm{d} \sigma=k \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma .
$$

2．若 $f(x, y), g(x, y)$ 在 $D$ 上都可积，则 $f(x, y) \pm g(x, y)$ 在 $D$ 上也可积，且

$$
\iint_D[f(x, y) \pm g(x, y)] \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \pm \iint_D g(x, y) \mathrm{d} \sigma .
$$

3．（**可加性**）若 $f(x, y)$ 在 $D_1$ 和 $D_2$ 上都可积，且 $D_1$ 与 $D_2$ 无公共内点，则 $f(x, y)$ 在 $D_1 \cup D_2$ 上也可积，且

$$
\iint_{D_1 \cup D_2} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D_1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\iint_{D_2} f(x, y) \mathrm{d} \sigma .
$$

4．(**比较性质**)若 $f(x, y)$ 与 $g(x, y)$ 在 $D$ 上可积，且

$$
f(x, y) \leqslant g(x, y), \quad(x, y) \in D
$$

则

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leqslant \iint_D g(x, y) \mathrm{d} \sigma .
$$

5．(**绝对可积**)若 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积，则函数 $|f(x, y)|$ 在 $D$ 上也可积，且

$$
\left|\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma\right| \leqslant \iint_D|f(x, y)| \mathrm{d} \sigma
$$

6．若 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积，且

$$
m \leqslant f(x, y) \leqslant M, \quad(x, y) \in D
$$

则

$$
m S_D \leqslant \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leqslant M S_D
$$

这里 $S_D$ 是积分区域 $D$ 的面积．

7．（**中值定理**）若 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则存在 $(\xi, \eta) \in D$ ，使得

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=f(\xi, \eta) S_D,
$$

这里 $S_D$ 是积分区域 $D$ 的面积．

> 中值定理的几何意义：以 $D$ 为底，$z=f(x, y) \quad(f(x, y) \geqslant 0)$ 为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 中某点 $(\xi, \eta)$ 的函数值 $f(\xi, \eta)$ ．

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