最后更新: 2025-02-01 20:49 查看: 10 次反馈刷题

二重积分的几何意义

三．二重积分的几何意义
设 $f$ 是定义在闭矩形 $A=[a, b] \times[c, d]$ 上的非负连续函数，则如图1所示，可以将二重积分

$$
\iint_A f(x, y) d x d y
$$

想象成三维空间中以曲面 $z=f(x, y)$ 为顶，以 $x O y$ 平面上的矩形 $A$ 为底面的柱体 （今后称为曲顶柱体）的体积．
 ![图片](/uploads/2025-02/12b663.jpg)
 采用与一元积分学中求曲边梯形面积的相同方法。将 $A$ 作分划就意味着将以 $A$ 为底的曲顶柱体分解为有限多个以 $A_{i j}$ 为底的小曲顶柱体（在图 1 中作出了其中的一个）。以底为 $A_{i j}$ 且高为某个 $f\left(P_{i j}\right)\left(P_{i j} \in A_{i j}\right)$ 的长方体就是对于小曲顶柱体体积的逼近．用底为 $A_{i j}$ 高为 $\max _{(x, y) \in A_{i j}} f(x, y)$ 和 $\min _{(x, y) \in A_{i j}} f(x, y)$ 的两个长方体则可以将上述长方体（和小曲顶柱体）夹在中间．对于 $i, j$ 求和，就是用 Darboux上和与下和将 Riemann 和夹在中间．
 
 当 $f$ 在 $A$ 上可积时，只要分划的细度趋于 0 ，上和与下和的极限就相同，这就是曲顶柱体的体积．

四．可积充要条件
与数列极限，函数极限和定积分进行类比就可以理解，仅仅从二重积分的定义出发是难以解决许多问题的，这里必须建立如何判定可积的准则．与定积分的可积充要条件类似，可以证明以下定理。

定理 0.1 对于在矩形 $A=[a, b] \times[c, d]$ 上定义的函数 $f$ ，以下三个条件等价：
（1）函数 $f$ 于 $A$ 上 Riemann 可积，
（2） $\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \omega_{i j} \Delta x_i \Delta y_j=0$ ，
（3）对 $\forall \varepsilon>0, \exists P$ ，使得 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \omega_{i j} \Delta x_i \Delta y_j<\varepsilon$ ．
利用多元函数的 Cantor 定理（即有界闭集上的连续函数必定一致连续）和上述条件（3）就容易证明在 $A$ 上的连续函数可积，此外，不连续点为有限个的有界函数也可积．

在闭矩形 $A=[0,1] \times[0,1]$ 上定义 Dirichlet 函数

$$
D(x, y)= \begin{cases}1, & x, y \in Q , \\ 0, & \text { 其他情况 },\end{cases}
$$

则可见对于任何分划都有 $\omega_{i j}=1-0=1$ ，因此振幅体积始终为 1 ，即是有

$$
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \omega_{i j} \Delta x_i \Delta y_j=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \Delta x_i \Delta y_j=1
$$

因此 $D(x, y)$ 在 $A=[0,1] \times[0,1]$ 上不可积．

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