最后更新: 2025-10-23 16:24 查看: 48 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

重积分的应用

## 求面积
设 $D$ 为可求面积的平面有界区域，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程

$$
z=f(x, y),(x, y) \in D
$$
 
所确定的曲面 $S$ 的面积．
为了定义曲面 $S$ 的面积，对区域 $D$ 作分割 $T$ ，它把 $D$分成 $n$ 个小区域 $\sigma_i(i=1,2, \cdots, n)$ 。根据这个分割相应地将曲面 $S$ 也分成 $n$ 个小曲面片 $S_i(i=1,2, \cdots, n)$ 。在每个 $S_i$上任取一点 $M_i$ ，作曲面在这一点的切平面 $\pi_i$ ，并在 $\pi_i$ 上取出一小块 $A_i$ ，使得 $A_i$ 与 $S_i$ 在 $x y$ 平面上的投影都是 $\sigma_i$ ，如图 21－39 所示．现在点 $M_i$ 附近，用切平面 $A_i$ 代替小曲面片 $S_i$ ，从而当 $\|T\|$ 充分小时，有

![图片](/uploads/2025-10/182313.jpg)

$$
\Delta S=\sum_{i=1}^n \Delta S_i \approx \sum_{i=1}^n \Delta A_i,
$$

这里 $\Delta S, \Delta S_i, \Delta A_i$ 分别表示曲面 $S$ ，小曲面片 $S_i$ ，小切平面块 $A_i$ 的面积．所以当 $\|T\| \rightarrow$ 0 时，可用和式 $\sum_{i=1}^n \Delta A_i$ 的极限作为 $S$ 的面积。

现在按照上述给出的曲面面积的概念，来建立曲面面积的计算公式．
首先计算 $A_i$ 的面积．由于切平面 $\pi_i$ 的法向量就是曲面 $S$ 在点 $M_i\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 处的法向量，记它与 $z$ 轴的夹角为 $\gamma_i$ ，则

$$
\left|\cos \gamma_i\right|=\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2\left(\xi_i, \eta_i\right)+f_y^2\left(\xi_i, \eta_i\right)}}
$$

因为 $A_i$ 在 $x y$ 平面上的投影为 $\sigma_i$ ，所以

$$
\Delta A_i=\frac{\Delta \sigma_i}{\left|\cos \gamma_i\right|}=\sqrt{1+f_x^2\left(\xi_i, \eta_i\right)+f_y^2\left(\xi_i, \eta_i\right)} \Delta \sigma_{i^*}
$$

其次，由于和数

$$
\sum_{i=1}^n \Delta A_i=\sum_{i=1}^n \sqrt{1+f_x^2\left(\xi_i, \eta_i\right)+f_y^2\left(\xi_i, \eta_i\right)} \Delta \sigma_i
$$
$$
\sum_{i=1}^n \Delta A_i=\sum_{i=1}^n \sqrt{1+f_x^2\left(\xi_i, \eta_i\right)+f_y^2\left(\xi_i, \eta_i\right)} \Delta \sigma_i
$$

是连续函数 $\sqrt{1+f_x^2(x, y)+f_y^2(x, y)}$ 在有界闭区域 $D$ 上的积分和．于是当 $\|T\| \rightarrow 0$ 时，就得到

$$
\begin{aligned}
\Delta S & =\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \sqrt{1+f_x^2\left(\xi_i, \eta_i\right)+f_y^2\left(\xi_i, \eta_i\right)} \Delta \sigma_i \\
& =\iint_D \sqrt{1+f_x^2(x, y)+f_y^2(x, y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y ...(1)
\end{aligned}
$$

或

$$
\Delta S=\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \frac{\Delta \sigma_i}{\left|\cos \gamma_i\right|}=\iint_D \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{|\cos (\hat{\boldsymbol{n}, z})|}, ...(2)
$$

其中 $\cos (\widehat{\boldsymbol{n}, z})$ 为曲面的法向量 $\boldsymbol{n}$ 与 $z$ 轴正向夹角的余弦．

`例`求圆锥 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在圆柱体 $x^2+y^2 \leqslant x$ 内那一部分的面积．
解 据曲面面积公式（1），

$$
\Delta S=\iint_D \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,
$$

其中 $D$ 是 $x^2+y^2 \leqslant x$ ．所求曲面方程为

$$
z=\sqrt{x^2+y^2},
$$

故

$$
z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} .
$$

因此

$$
\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{1+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}}=\sqrt{2},
$$

所以

$$
\Delta S=\iint_D \sqrt{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{2} \Delta D=\frac{\sqrt{2}}{4} \pi
$$

`例` 设平面光滑曲线的方程为

$$
y=f(x), x \in[a, b](f(x)>0),
$$

求证：此曲线绕 $x$ 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为

$$
S=2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x .
$$

证 由于上半旋转面方程为 $z=\sqrt{f^2(x)-y^2}$ ，因此

$$
\begin{aligned}
& z_x=\frac{f(x) f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^2(x)-y^2}}, z_y=\frac{-y}{\sqrt{f^2(x)-y^2}} \\
& \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{\frac{f^2(x)+f^2(x) f^{\prime 2}(x)}{f^2(x)-y^2}}
\end{aligned}
$$

于是

$$
\begin{aligned}
S & =2 \int_a^b \mathrm{~d} x \int_{-f(x)}^{f(x)} \sqrt{\frac{f^2(x)+f^2(x) f^{\prime 2}(x)}{f^2(x)-y^2}} \mathrm{~d} y \\
& =4 \int_a^b \mathrm{~d} x \int_0^{f(x)} f(x) \sqrt{\frac{1+f^{\prime 2}(x)}{1-y^2 f^{-2}(x)}} \mathrm{d}\left(\frac{y}{f(x)}\right) \\

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【高等数学】三重积分在物理中的应用

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