最后更新: 2025-02-01 20:52 查看: 15 次反馈刷题

零测度集与勒贝格定理

五．零测度集
与一元函数的积分类似，为了彻底解决什么样的函数为 Riemann 可积的问题，需要引入多维空间的零测度集。此外，这也为后面的面积定义问题作好了理论准备。为了不发生混淆，今后常将过去的零测度集称为一维零测度集。以下叙述的二维零测度集可以没有困难地推广到一般的 $n$ 维空间中去。

定义 0.1 设 $S$ 是平面 $R ^2$ 内的一个点集．若对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在至多可列个开矩形 ${ }^{(1)} \Delta_1, \cdots, \Delta_n, \cdots$ ，使得
（1）$\bigcup_{n=1}^{\infty} \Delta_n \supset S$ ，
（2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\Delta_n\right|<\varepsilon$ ，其中 $\left|\Delta_n\right|$ 是 $\Delta_n$ 的面积，
则称 $S$ 是 $R ^2$ 内的一个（二维的）零测度集，简称为（二维）零集．
容易证明二维零测度集的下列性质，其中的内容和证明方法与一维零测度集相同．
性质 1 零测度集的子集也是零测度集．
性质2 平面上的可列集必是零测度集。
性质 3 平面上的可列个零测度集的并集仍然是零测度集。
注 需要注意，在 $R ^1$ 上的区间 $[0,1]$ 不是一维的零测度集，但却是二维的零测度集．因此今后在用到零测度集概念时，在必要时必须附加说明是何种维数的零测度集。

对于在 $D \subset R ^2$ 上定义的函数 $f$ ，若 $f$ 的不连续点为二维零测度集，则称 $f$ 在 $D$ 上几乎处处连续。

除了以上概念之外，我们还介绍零容度集的概念．

定义 0.2 设 $S$ 是平面 $R ^2$ 内的一个点集．若对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在有限个开矩形 ${ }^{(1)}$ $\Delta_1, \cdots, \Delta_n$ ，使得
（1）$\bigcup_{k=1} \Delta_k \supset S$ ，
（2）$\sum_{k=1}^n\left|\Delta_k\right|<\varepsilon$ ，其中 $\left|\Delta_k\right|$ 是 $\Delta_k$ 的面积，
则称 $S$ 是 $R ^2$ 内的一个（二维的）零容度集 ${ }^{(2)}$（在不发生混淆时也称为零集）．
注1 显然零容度集一定是零测度集，反之则不一定成立。例如在 $R ^2$ 中两个坐标都是有理数的全体为零测度集，但不是零容度集。又如无界集可能是零测度集，但一定不是零容度集。

注 2 零测度集的闭包未必是零测度集，但零容度集的闭包仍是零容度集．
前者可以用注 1 中的例子来说明．后者则当 $S \subset \bigcup_{i=1}^n \Delta_i$ ，且每个 $\Delta_i$ 为闭矩形时，利用有限个闭集的并仍为闭集，因此同时有 $\bar{S} \subset \bigcup_{i=1}^n \Delta_i$ ．

注 3 利用有限覆盖定理可以知道，有界闭集（即紧集）为零测度集时也一定是零容度集．由于任何点集的边界为闭集，因此对有界点集 $S$ 来说，$\partial S$ 为零测度集时则也是零容度集．统称为零集．

六．Lebesgue 定理
与一元函数的 Riemann 可积问题一样有以下重要结论．它的证明是类似的．由于其重要性，也是为了有一次重复学习的机会，下面给出其证明．读者可以和对于 $n=1$ 的证明作比较。

定理 0.2 在闭矩形 $A=[a, b] \times[c, d]$ 上定义的函数 $f$ 为 Riemann 可积的充分必要条件是 $f$ 在 $A$ 上有界且几乎处处连续．

证 必要性（ $\Longrightarrow$ ）。从前面已知 $f$ 在 $A$ 上可积则有界。现在将 $f$ 在 $A$ 上的间断点全体所成集合记为 $D$ ，我们要证明 $D$ 为零测度集．

与一元函数情况相同，从连续性定义可知，每个间断点处 $f$ 的振幅大于 0 ．固定一个正数 $\delta>0$ ，考虑 $D$ 中振幅大于等于 $\delta$ 的间断点所成的子集，并记为

$$
D_\delta=\left\{\left(x_0, y_0\right) \in D \mid \omega_f\left(\left(x_0, y_0\right)\right) \geqslant \delta\right\} .
$$

对给定的 $\varepsilon>0$ ，从定理 1 之条件（3）知道，存在闭矩形 $A$ 的一个分划 $P$ ，使得 $P$ 所对应的振幅体积

$$
\sum_{i, j} \omega_{i j} \Delta \sigma_{i j}<\varepsilon \delta
$$

其中 $\Delta \sigma_{i j}=\Delta x_i \Delta y_j=\left|A_{i j}\right|$ ．
将分划 $P$ 确定的所有闭子矩形按照 $f$ 在其上的振幅大小分成 $\omega_{i j}<\delta$ 和 $\omega_{i j} \geqslant \delta$ 的两类，则有

$$
\delta \sum_{\omega_{i j} \geqslant \delta} \Delta \sigma_{i j} \leqslant \sum_{\omega_{i j} \geqslant \delta} \omega_{i j} \Delta \sigma_{i j}<\varepsilon \delta
$$

由此可见 $\sum_{\omega_{i j} \geqslant \delta} \Delta \sigma_{i j}<\varepsilon$ ，即振幅大于等于 $\delta$ 的闭子矩形 $A_{i j}$ 的面积之和小于 $\varepsilon$ 。
对于每个点 $\left(x_0, y_0\right) \in D_\delta$ ，在包含 $\left(x_0, y_0\right)$ 为内点的闭子矩形上 $f$ 的振幅大于等于 $\delta$ 。因此 $D_\delta$ 中的点不可能是 $\omega_{i j}<\delta$ 的闭子矩形的内点，这样就只能有

$$
D_\delta \subset\left(\bigcup_{\omega_{i j} \geqslant \delta} A_{i j}\right) \bigcup\left(\bigcup_{i, j} \partial A_{i j}\right)
$$

由于每个 $\partial A_{i j}$ 都是二维零测度集，这样就得到了 $D_\delta$ 的有限覆盖，其中矩形的面积之和小于 $\varepsilon$ 。由于 $\varepsilon>0$ 可任意小，因此 $D_\delta$ 为零测度集。

由于 $f$ 的每个间断点必定属于某个 $D_\delta$ ，只要 $\delta>0$ 足够小，因此有
$$
D=\bigcup_{n=1}^{\infty} D_{\frac{1}{n}} .
$$

对 $\forall \varepsilon>0$ ，用总面积小于 $\varepsilon / 2$ 的有限个矩形覆盖 $D_1$ ，用总面积小于 $\varepsilon / 4$ 的有限个矩形覆盖 $D_2$ ，如此继续下去，就得到了覆盖 $D$ 的至多可列个矩形，它们的面积之和小于 $\varepsilon$ ，因此 $D$ 为二维的零测度集．

充分性 $(\Longleftarrow)$ ．从 $f$ 有界知道有 $M>0$ ，使得 $|f(x, y)|<M \forall(x, y) \in A$ ．
对于给定的 $\varepsilon>0$ ，由于 $f$ 的间断点集 $D$ 为零测度集，因此存在总面积不超过 $\varepsilon$ 的至多可列个开矩形覆盖 $D$ ．今后将这样的开矩形称为第一类开矩形 ${ }^{(1)}$ 。

对于连续点 $(x, y)$ ，利用该点振幅为 0 ，因此存在覆盖点 $(x, y)$ 的开矩形，使得 $f$ 在其上的振幅小于 $\varepsilon$ ．对每个连续点如此做，就得到覆盖所有连续点的开矩形族，今后将如此得到的开矩形称为第二类开矩形。

合并以上所有两类开矩形，就得到关于闭矩形 $A$ 的开覆盖．用有限覆盖定理，在这个开覆盖中存在 $A$ 的有限子覆盖，即有限个开矩形，它们的并仍然覆盖 $A$ ．

将这有限个开矩形的所有顶点投影到 $x$ 轴和 $y$ 轴上，将 $x$ 轴上越出 $[a, b]$ 和 $y$轴上越出 $[c, d]$ 的投影点去掉，并自动加入端点 $a, b, c, d$ ，这样就得到 $[a, b]$ 的分划和 $[c, d]$ 的分划，并生成闭矩形 $A$ 的分划 $P$ 。

考虑由分划 $P$ 得到的所有闭子矩形 $A_{i j}$ ．可以看出，每一个 $A_{i j}$ 一定为某个第

一类开矩形或第二类开矩形所覆盖．
> 由于这里是为应用有限覆盖定理作准备，因此在充分性证明中都只用开矩形。

按照 $\omega_{i j} \geqslant \varepsilon$ 和 $\omega_{i j}<\varepsilon$ 将所有闭子矩形分成两类．
对于 $\omega_{i j} \geqslant \varepsilon$ 的第一类 $A_{i j}$ ，由于它只能为第一类开矩形所覆盖，因此它们的面积总和小于 $\varepsilon$ ．虽然 $f$ 在这类 $A_{i j}$ 上的振幅可能较大，但总有 $\omega_{i j} \leqslant 2 M$ ．

对于 $\omega_{i j}<\varepsilon$ 的第二类 $A_{i j}$ ，则它们的面积之和不会超过 $A$ 的面积 $|A|=$ $(b-a)(d-c)$ ．

于是与这个分划 $P$ 对应的振幅体积满足不等式

$$
\sum_{i, j} \omega_{i j} \Delta \sigma_{i j}=\left(\sum_{\omega_{i j} \geqslant \varepsilon}+\sum_{\omega_{i j}<\varepsilon}\right) \omega_{i j} \Delta \sigma_{i j} \leqslant 2 M \varepsilon+|A| \varepsilon=(2 M+|A|) \varepsilon
$$

因此根据定理 1 之（3）可知 $f$ 在 $A$ 上 Riemann 可积．

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：二重积分的几何意义

下一篇：可积函数的性质

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)