最后更新: 2025-02-01 20:53 查看: 12 次反馈刷题

可积函数的性质

七．可积函数的性质
以下几个性质都是一元函数积分性质的平行推广。
性质1（关于被积函数的线性性质）设 $f, g$ 都在闭矩形 $A$ 上可积，$\alpha, \beta$ 是两个实数，则 $\alpha f+\beta g$ 也在 $A$ 上可积，且有

$$
\iint_A(\alpha f+\beta g)=\alpha \iint_A f+\beta \iint_A g
$$

性质2（关于积分区域的可加性质）设闭矩形 $A$ 可以分解为 $n$ 个闭矩形 $A_i, i=1, \cdots, n$ 的并，其中的任何两个矩形的内部不相交，则 $f$ 在 $A$ 上可积等价于 $f$ 也在每一个 $A_i(i=1, \cdots, n)$ 上可积，且当可积时成立等式

$$
\iint_A f=\sum_{i=1}^n \iint_{A_i} f
$$

性质 3 （比较性质）设 $f, g$ 都在闭矩形 $A$ 上可积，且在 $A$ 上处处成立 $f(x, y) \leqslant$ $g(x, y)$ ，则有

$$
\iint_A f \leqslant \iint_A g
$$

性质 4 （绝对可积性质）若 $f$ 在闭矩形 $A$ 上可积，则 $|f|$ 也在 $A$ 上可积，且有

$$
\left|\iint_A f\right| \leqslant \iint_A|f|
$$

性质 5 （被积函数乘积的可积性）设 $f, g$ 都在闭矩形 $A$ 上可积，则 $f \cdot g$ 也在 $A$ 上可积。

性质 6 （积分中值定理）设 $f, g$ 都在闭矩形 $A$ 上可积，$g$ 在 $A$ 上不变号，则存在常数 $\mu$ ，使得成立

$$
\iint_A f g=\mu \iint_A g
$$

其中 $\mu \in[m, M], m, M$ 分别是 $f$ 在 $A$ 上的下确界和上确界．

又若 $f$ 在 $A$ 上连续，则存在点 $(\xi, \eta) \in A$ ，使得成立

$$
\iint_A f=f(\xi, \eta) \iint g
$$

特别当 $g \equiv 1$ 在 $A$ 上成立时，就有

$$
\iint_A f=f(\xi, \eta)|A|
$$

其中 $|A|$ 为闭矩形 $A$ 的面积。

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