最后更新: 2025-10-24 20:55 查看: 58 次纠错评论(0) 课件开VIP

阅读：Peano 曲线

## Peano 曲线
在二重积分里，注意的是，一条平面曲线所绘出的图形的面积并不一定是零．Peano 发现，存在将实轴上的闭区间映满平面上的一个二维区域（如三角形和正方形）的连续映射．也就是说，这条曲线通过该二维区域的每个点，这种曲线被称为 **Peano 曲线**．

以下我们给出一个将 $[0,1]$ 映满平面上边长为 $1 / 2$ 的正三角形的连续映射的大致构造，具体细节请有兴趣的读者补上。

设 $\Delta$ 为平面上边长为 $1 / 2$ 的闭正三角形．作连续映射 $f_1:[0,1] \rightarrow \Delta$ ，使得它的像是三角形的一个顶点到重心再到另一个顶点的折线，如图 13．1．4 所示．将 $\Delta$ 分为四个全等三角形，再作 $f_2:[0,1] \rightarrow \Delta$ ，使得 $\boldsymbol{f}_2$ 在每个区间 $\left[\frac{i}{4}, \frac{i+1}{4}\right]$ 上的像分别完全落在一个小三角形 $\Delta_i(i=0,1,2,3)$ 上，且 $\boldsymbol{f}_2$ 的像在小三角形 $\Delta_i$ 的部分恰如 $f_i$ 的像，如图 13．1．5 所示．继续将每个小三角形 $\Delta_i$ 分为四个更小的全等三角形，作连续映射 $f_3:[0,1] \rightarrow \Delta$ ，使得在每个区间 $\left[\frac{i}{4}, \frac{i+1}{4}\right](i=0,1,2,3)$ 上的像分别完全落在一个小三角形 $\Delta_i$ 上， $\boldsymbol{f}_3$ 在这个区间上的构造完全类似于 $\boldsymbol{f}_2$ 在 $[0,1]$ 上的构造，而且 $\boldsymbol{f}_3$ 的像在更小的三角形的部分恰如 $\boldsymbol{f}_1$ 的像，如图13．1．6所示。如此继续下去，将正三角形 $\Delta$ 等分为 $4^{n-1}$ 个小全等三角形，用归纳法可作出连续映射 $f_n:[0,1] \rightarrow \Delta$ ，使得从 $f_{n-1}$ 到 $f_n$ 的构造完全类似于从 $f_2$ 到 $f_3$ 的构造，且 $f_n$ 的像在每个小三角形的部分恰如 $f_1$ 的像．这样就可以构造一个连续映射序列 $\left\{f_n\right\}$ ．

![图片](/uploads/2025-10/20c435.jpg)
 
 由序列 $\left\{\boldsymbol{f}_n\right\}$ 的构造可知，若 $m \leqslant n$ ，则对于每个 $t \in[0,1]$ ，可以找到边长为 $1 / 2^m$ 的小三角形同时含有 $f_m(t)$ 和 $f_n(t)$ ，因此在 $[0,1]$ 上成立

$$
\left|f_m(t)-f_n(t)\right| \leqslant 1 / 2^m
$$

于是连续映射序列 $\left\{\boldsymbol{f}_n\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于一个连续映射 $\boldsymbol{f}:[0,1] \rightarrow \Delta$ ，且 $\boldsymbol{f}$ 满足

$$
\left|f_m(t)-f(t)\right| \leqslant 1 / 2^m, \quad t \in[0,1] .
$$

现在证明 $f$ 的像为整个 $\Delta$ ．
首先证明 $\Delta$ 上每一点都是 $\boldsymbol{f}$ 的像集的聚点。从 $\left\{\boldsymbol{f}_n\right\}$ 的构造可知： $\boldsymbol{f}_n$ 的像到 $\Delta$ 上任一点的距离不超过 $1 / 2^n$（关于点与点集的距离的定义见第十一章第三节习题4）．对于 $\Delta$ 上任一点 $\boldsymbol{a}$ 及 $\boldsymbol{a}$ 的任一邻域 $U$ ，取 $N$ 充分大，使得 $O\left(\boldsymbol{a}, 1 / 2^{N-1}\right) \subset U$ ，并且取 $t_0 \in[0,1]$ ，使得

$$
\left|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{f}_N\left(t_0\right)\right| \leqslant 1 / 2^N .
$$

因此

$$
\left|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{f}\left(t_0\right)\right| \leqslant\left|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{f}_N\left(t_0\right)\right|+\left|\boldsymbol{f}_N\left(t_0\right)-\boldsymbol{f}\left(t_0\right)\right| \leqslant 1 / 2^N+1 / 2^N=1 / 2^{N-1},
$$

所以 $\boldsymbol{f}\left(t_0\right) \in O\left(\boldsymbol{a}, 1 / 2^{N-1}\right) \subset U$ ，这说明 $\boldsymbol{a}$ 是 $\boldsymbol{f}$ 的像集的聚点．
显然 $\boldsymbol{f}([0,1]) \subset \Delta$ 。而 $\boldsymbol{f}$ 为连续映射，所以 $\boldsymbol{f}([0,1])$ 为紧集，因此是闭集，所以 $\boldsymbol{f}([0,1])$ 包含它的所有聚点，因此 $f([0,1])=\Delta$ ，即 $f$ 的像为整个  ．

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