最后更新: 2025-10-22 12:57 查看: 33 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

直角坐标系下二重积分

## 直角坐标系下二重积分的计算
本节首先讨论定义在矩形区域 $D=[a, b] \times[c, d]$ 上二重积分计算问题，然后再把它扩展到较为一般的区域上。

**定理 21.8** 设 $f(x, y)$ 在矩形区域 $D=[a, b] \times[c, d]$ 上可积，且对每个 $x \in[a, b]$ ，积分 $\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y$ 存在，则累次积分

$$
\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y
$$

也存在，且

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y ...(1)
$$

证 令 $F(x)=\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y$ ，定理要求证明 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且积分的结果恰为二重积分．为此，对区间 $[a, b]$ 与 $[c, d]$ 分别作分割
$$
\begin{aligned}
& a=x_0<x_1<\cdots<x_r=b, \\
& c=y_0<y_1<\cdots<y_s=d .
\end{aligned}
$$

按这些分点作两组直线

$$
x=x_i \quad(i=1,2, \cdots, r-1)
$$

及

$$
y=y_k \quad(k=1,2, \cdots, s-1),
$$

它把矩形 $D$ 分为 $r s$ 个小矩形（图21－4）．记 $\Delta_{i k}$ 为小矩形 $\left[x_{i-1}, x_i\right] \times\left[y_{k-1}, y_k\right](i=1,2, \cdots, r, k=1,2, \cdots, s)$ ；设 $f(x, y)$ 在 $\Delta_{i k}$ 上的上确界和下确界分别为 $M_{i k}$ 和 $m_{i k}$ ．在区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 中任取一点 $\xi_i$ ，于是就有不等式

![图片](/uploads/2025-10/9d63e8.jpg){width=300px}

$$
m_{i k} \Delta y_k \leqslant \int_{y_{k-1}}^{y_k} f\left(\xi_i, y\right) \mathrm{d} y \leqslant M_{i k} \Delta y_k
$$

其中 $\Delta y_k=y_k-y_{k-1}$ ．因此

$$
\begin{gathered}
\sum_{k=1}^s m_{i k} \Delta y_k \leqslant F\left(\xi_i\right)=\int_c^d f\left(\xi_i, y\right) \mathrm{d} y \leqslant \sum_{k=1}^s M_{i k} \Delta y_k, \\
\sum_{i=1}^r \sum_{k=1}^s m_{i k} \Delta y_k \Delta x_i \leqslant \sum_{i=1}^r F\left(\xi_i\right) \Delta x_i \leqslant \sum_{i=1}^r \sum_{k=1}^s M_{i k} \Delta y_k \Delta x_i, ...(2) 
\end{gathered}
$$

其中 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ ．记 $\Delta_{i k}$ 的对角线长度为 $d_{i k}$ 和

$$
\|T\|=\max _{i, k} d_{i k} .
$$

由于二重积分存在，由定理 21．4，当 $\|T\| \rightarrow 0$ 时，$\sum_{i, k} m_{i k} \Delta y_k \Delta x_i$ 和 $\sum_{i, k} M_{i k} \Delta y_k \Delta x_i$ 有相同的极限，且极限值等于 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ．因此当 $\|T\| \rightarrow 0$ 时，由不等式（2）可得

$$
\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^r F\left(\xi_i\right) \Delta x_i=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma ...(3)
$$

由于当 $\|T\| \rightarrow 0$ 时，必有 $\max _{1 \leqslant i \leqslant r} \Delta x_i \rightarrow 0$ ，因此由定积分定义，（3）式左边

$$
\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^r F\left(\xi_i\right) \Delta x_i=\int_a^b F(x) \mathrm{d} x=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y
$$

**定理 21.9** 设 $f(x, y)$ 在矩形区域 $D=[a, b] \times[c, d]$ 上可积，且对每个 $y \in[c, d]$ ，积分 $\int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x$ 存在，则累次积分

$$
\int_c^d \mathrm{~d} y \int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x
$$

也存在，且

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_c^d \mathrm{~d} y \int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x
$$

定理21．9的证明与定理21．8相仿．
特别当 $f(x, y)$ 在矩形区域 $D=[a, b] \times[c, d]$ 上连续时，则有

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y=\int_c^d \mathrm{~d} y \int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x .
$$

`例`计算 $\iint_D y \sin (x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $

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