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直角坐标系下二重积分

## 直角坐标系下二重积分的计算
本节首先讨论定义在矩形区域 $D=[a, b] \times[c, d]$ 上二重积分计算问题，然后再把它扩展到较为一般的区域上。

**定理 21.8** 设 $f(x, y)$ 在矩形区域 $D=[a, b] \times[c, d]$ 上可积，且对每个 $x \in[a, b]$ ，积分 $\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y$ 存在，则累次积分

$$
\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y
$$

也存在，且

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y ...(1)
$$

证 令 $F(x)=\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y$ ，定理要求证明 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且积分的结果恰为二重积分．为此，对区间 $[a, b]$ 与 $[c, d]$ 分别作分割
$$
\begin{aligned}
& a=x_0<x_1<\cdots<x_r=b, \\
& c=y_0<y_1<\cdots<y_s=d .
\end{aligned}
$$

按这些分点作两组直线

$$
x=x_i \quad(i=1,2, \cdots, r-1)
$$

及

$$
y=y_k \quad(k=1,2, \cdots, s-1),
$$

它把矩形 $D$ 分为 $r s$ 个小矩形（图21－4）．记 $\Delta_{i k}$ 为小矩形 $\left[x_{i-1}, x_i\right] \times\left[y_{k-1}, y_k\right](i=1,2, \cdots, r, k=1,2, \cdots, s)$ ；设 $f(x, y)$ 在 $\Delta_{i k}$ 上的上确界和下确界分别为 $M_{i k}$ 和 $m_{i k}$ ．在区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 中任取一点 $\xi_i$ ，于是就有不等式

![图片](/uploads/2025-10/9d63e8.jpg){width=300px}

$$
m_{i k} \Delta y_k \leqslant \int_{y_{k-1}}^{y_k} f\left(\xi_i, y\right) \mathrm{d} y \leqslant M_{i k} \Delta y_k
$$

其中 $\Delta y_k=y_k-y_{k-1}$ ．因此

$$
\begin{gathered}
\sum_{k=1}^s m_{i k} \Delta y_k \leqslant F\left(\xi_i\right)=\int_c^d f\left(\xi_i, y\right) \mathrm{d} y \leqslant \sum_{k=1}^s M_{i k} \Delta y_k, \\
\sum_{i=1}^r \sum_{k=1}^s m_{i k} \Delta y_k \Delta x_i \leqslant \sum_{i=1}^r F\left(\xi_i\right) \Delta x_i \leqslant \sum_{i=1}^r \sum_{k=1}^s M_{i k} \Delta y_k \Delta x_i, ...(2) 
\end{gathered}
$$

其中 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ ．记 $\Delta_{i k}$ 的对角线长度为 $d_{i k}$ 和

$$
\|T\|=\max _{i, k} d_{i k} .
$$

由于二重积分存在，由定理 21．4，当 $\|T\| \rightarrow 0$ 时，$\sum_{i, k} m_{i k} \Delta y_k \Delta x_i$ 和 $\sum_{i, k} M_{i k} \Delta y_k \Delta x_i$ 有相同的极限，且极限值等于 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ．因此当 $\|T\| \rightarrow 0$ 时，由不等式（2）可得

$$
\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^r F\left(\xi_i\right) \Delta x_i=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma ...(3)
$$

由于当 $\|T\| \rightarrow 0$ 时，必有 $\max _{1 \leqslant i \leqslant r} \Delta x_i \rightarrow 0$ ，因此由定积分定义，（3）式左边

$$
\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^r F\left(\xi_i\right) \Delta x_i=\int_a^b F(x) \mathrm{d} x=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y
$$

**定理 21.9** 设 $f(x, y)$ 在矩形区域 $D=[a, b] \times[c, d]$ 上可积，且对每个 $y \in[c, d]$ ，积分 $\int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x$ 存在，则累次积分

$$
\int_c^d \mathrm{~d} y \int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x
$$

也存在，且

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_c^d \mathrm{~d} y \int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x
$$

定理21．9的证明与定理21．8相仿．
特别当 $f(x, y)$ 在矩形区域 $D=[a, b] \times[c, d]$ 上连续时，则有

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y=\int_c^d \mathrm{~d} y \int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x .
$$

`例`计算 $\iint_D y \sin (x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=[0, \pi] \times[0,1]$ ．
解

$$
\begin{aligned}
\iint_D y \sin (x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^\pi y \sin (x y) \mathrm{d} x=\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^\pi \frac{\partial}{\partial x}(-\cos (x y)) \mathrm{d} x \\
& =-\left.\int_0^1 \cos (x y)\right|_0 ^\pi \mathrm{d} y=\int_0^1(1-\cos (\pi y)) \mathrm{d} y \\
& =1-\left.\frac{1}{\pi} \sin (\pi y)\right|_0 ^1=1 .
\end{aligned}
$$

## X型区域与Y型区域

对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算．
称平面点集

$$
D=\left\{(x, y) \mid y_1(x) \leqslant y \leqslant y_2(x), a \leqslant x \leqslant b\right\} ...(4)
$$

为** $x$ 型区域**（图21－5（a））；称平面点集

$$
D=\left\{(x, y) \mid x_1(y) \leqslant x \leqslant x_2(y), c \leqslant y \leqslant d\right\} ...(5)
$$

为 **$y$ 型区域**（图21－5（b））．

![图片](/uploads/2025-10/399eab.jpg){width=500px}
 
> 这些区域的特点是当 $D$ 为 $x$ 型区域时，垂直于 $x$ 轴的直线 $x=x_0\left(a<x_0<b\right)$ 至多与区域 $D$ 的边界交于两点；当 $D$ 为 $y$ 型区域时，直线 $y=y_0\left(c<y_0<d\right)$ 至多与 $D$ 的边界交于两点。

许多常见的区域都可以分解成有限个除边界外无公共内点的 $x$ 型区域或 $y$ 型区域（如图21－6所示的区域 $D$ 可分解成三个区域，其 I，III 为 $x$ 型区域，II 为 $y$型区域）。因而解决了 $x$ 型区域或 $y$ 型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决．

![图片](/uploads/2025-10/f1c643.jpg){width=300px}
 
 
**定理21.10** 若 $f(x, y)$ 在如（4）式所示的 $x$ 型区域 $D$上连续，其中 $y_1(x), y_2(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$

即二重积分可化为先对 $y$ 后对 $x$ 的累次积分．
证 由于 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，故存在矩形区域 $[a, b] \times[c, d] \supset D$（如图 21－5（a）），现作一定义在 $[a, b] \times[c, d]$ 上的函数

$$
F(x, y)= \begin{cases}f(x, y), & (x, y) \in D, \\ 0, & (x, y) \notin D .\end{cases}
$$

可以验证，函数 $F(x, y)$ 在 $[a, b] \times[c, d]$ 上可积，而且

$$
\begin{aligned}
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma & =\iint_{[a, b] \times[c, d]} F(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d F(x, y) \mathrm{d} y \\
& =\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{y_1(x)}^{z_2(x)} F(x, y) \mathrm{d} y=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y
\end{aligned}
$$

注 从几何意义上可以这样来理解化二重积分为累次积分，二重积分是计算以 $D$ 为底面，$f(x, y)(\geqslant 0)$ 为高的曲顶柱体的体积，这个曲顶柱体可视为介于平行平面 $x=a$ 与 $x=b$ 之间的立体，可以利用截面面积 $S(x), x \in[a, b]$ 的积分求出．而截面面积 $S(x)$ 是一元函数 $f(x, y)$（其中 $x$ 为参量）与 $y$轴以及直线 $y=y_1(x), y=y_2(x)$ 所围图形的面积（图 21－7），所以

![图片](/uploads/2025-10/731027.jpg){WIDTH=300PX}
 
 
$$
S(x)=\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$

那么曲顶柱体的体积

$$
V=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$

类似可证，若 $D$ 为（5）式所示的 $y$ 型区域，其中 $x_1(y), x_2(y)$ 在 $[c, d]$ 上连续，则二重积分可化为先对 $x$ 后对 $y$ 的累次积分

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_c^d \mathrm{~d} y \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x, y) \mathrm{d} x .
$$

`例` 设 $D$ 是由直线 $x=0, y=1$ 及 $y=x$ 围成的区域（图21－8），试计算 $I=\iint_D x^2 \mathrm{e}^{-\gamma^2} \mathrm{~d} \sigma$ 的值．

![图片](/uploads/2025-10/fabaf5.jpg){width=250px}

解 若用先对 $y$ 后对 $x$ 的积分，则

$$
I=\int_0^1 x^2 \mathrm{~d} x \int_x^1 \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y .
$$

由于函数 $e^{-y^2}$ 的原函数无法用初等函数形式表示，因此改用另一种顺序的累次积分，则有

$$
I=\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^y x^2 \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} \int_0^1 y^3 \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y .
$$

由分部积分法，即可算得

$$
I=\frac{1}{6}-\frac{1}{3 \mathrm{e}}
$$

`例` 计算二重积分 $\iint_D \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 为由直线 $y=2 x, x=2 y$ 及 $x+y=3$ 所围的三角形区域（图尔1－9）．
 ![图片](/uploads/2025-10/a59dd5.jpg){width=250px}

解 当把 $D$ 看作 $x$ 型区域时，相应的

$$
y_2(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2 x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\
3-x, & 1<x \leqslant 2,
\end{array} \quad y_1(x)=\frac{x}{2} .\right.
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\iint_D \mathrm{~d} \sigma & =\iint_{D_1} \mathrm{~d} \sigma+\iint_{D_2} \mathrm{~d} \sigma=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{\frac{x}{2}}^{2 x} \mathrm{~d} y+\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_{\frac{x}{2}}^{3-x} \mathrm{~d} y \\
& =\int_0^1\left(2 x-\frac{x}{2}\right) \mathrm{d} x+\int_1^2\left(3-x-\frac{x}{2}\right) \mathrm{d} x \\
& =\left.\left[\frac{3}{4} x^2\right]\right|_0 ^1+\left.\left[3 x-\frac{3}{4} x^2\right]\right|_1 ^2=\frac{3}{2} .
\end{aligned}
$$

`例`计算 $\left[-1,1 ; 0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上函数 $x \sin y-y \mathrm{e}^x$ 的两个二次积分．

解 
**法一**：先$x$后$y$积分
先 $x$ 后 $y$ 的二次积分是

$$
\begin{aligned}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} y \int_{-1}^1\left(x \sin y-y \mathrm{e}^x\right) \mathrm{d} x & =\left.\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{x^2}{2} \sin y-y \mathrm{e}^x\right)\right|_{x=-1} ^{x=1} \mathrm{~d} y \\
& =\Gamma_0^{\frac{\pi}{2}} y\left(\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}\right) \mathrm{d} y \\
& =\left.\left(\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}\right) \frac{y^2}{2}\right|_0 ^{\frac{\pi}{2}} \\
& =\frac{1}{8}\left(\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}\right) \pi^2
\end{aligned}
$$

**法二**：先$y$后$x$积分
先 $y$ 后 $x$ 的二次积分是

$$
\begin{aligned}
\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(x \sin y-y \mathrm{e}^x\right) \mathrm{d} y & =\left.\int_{-1}^1\left(-x \cos y-\frac{y^2}{2} \mathrm{e}^x\right)\right|_{y=0} ^{y=\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \\
& =\int_{-1}^1\left(x-\frac{\pi^2}{8} \mathrm{e}^x\right) \mathrm{d} x \\
& =-\left.\frac{\pi^2}{8} \mathrm{e}^x\right|_{-1} ^1 \\
& =\frac{\pi^2}{8}\left(\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}\right) . \quad  
\end{aligned}
$$

`例`求积分 $I=\iint_D(2-x-y) d x d y$ ，其中 $D$ 由 $y=x, y=x^2$ 围成．
解 首先要作出积分区域的草图，如下面的图3（a）所示．这对于确定积分限是必要的步骤。

由于区域 $D$ 同时为 $x$ 型区域和 $y$ 型区域，因此可以用两种方法来计算．

![图片](/uploads/2025-02/72db67.jpg)
 
 作为 $x$ 型区域可计算如下：

$$
\begin{aligned}
I & =\int_0^1 d x \int_{x^2}^x(2-x-y) d y=\left.\int_0^1\left(2 y-x y-\frac{y^2}{2}\right)\right|_{y=x^2} ^{y=x} d x \\
& =\int_0^1\left(2 x-x^2-\frac{x^2}{2}-2 x^2+x^3+\frac{x^4}{2}\right) d x=\int_0^1\left(2 x-\frac{7}{2} x^2+x^3+\frac{x^4}{2}\right) d x \\
& =\left.\left(x^2-\frac{7}{6} x^3+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{10}\right)\right|_0 ^1=-\frac{1}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{10} \\
& =\frac{1}{60}(-10+15+6)=\frac{11}{60} .
\end{aligned}
$$

作为 $y$ 区域则可计算如下：

$$
\begin{aligned}
I & =\int_0^1 d y \int_y^{\sqrt{y}}(2-x-y) d x=\left.\int_0^1\left(2 x-\frac{x^2}{2}-x y\right)\right|_{x=y} ^{x=\sqrt{y}} d y \\
& =\int_0^1\left(2 \sqrt{y}-\frac{y}{2}-y^{3 / 2}-2 y+\frac{y^2}{2}+y^2\right) d y=\int_0^1\left(2 y^{1 / 2}-\frac{5}{2} y-y^{3 / 2}+\frac{3}{2} y^2\right) d y \\
& =\left.\left(\frac{4}{3} y^{3 / 2}-\frac{5}{4} y^2-\frac{2}{5} y^{5 / 2}+\frac{1}{2} y^3\right)\right|_0 ^1=\frac{4}{3}-\frac{5}{4}-\frac{2}{5}+\frac{1}{2} \\
& =\frac{1}{60}(80-75-24+30)=\frac{11}{60} .
\end{aligned}
$$

注 利用重积分关于被积函数的线性性质，又利用被积函数的特性，可以如下计算：

$$
\begin{aligned}
I & =2|D|-\int_0^1 x d x \int_{x^2}^x d y-\int_0^1 y d y \int_y^{\sqrt{y}} d x \\
& =\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{2}{5}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{60}(15-24+20)=\frac{11}{60} .
\end{aligned}
$$

其他版本
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