最后更新: 2025-02-01 20:54 查看: 10 次反馈刷题

矩形上二重积分的计算

八．矩形上二重积分的计算
先介绍二次积分。
先看下列二次积分，称为先 $y$ 后 $x$ 的二次积分：

$$
\int_a^b\left\{\int_c^d f(x, y) d y\right\} d x
$$

其中 $f(x, y)$ 在 $A=[a, b] \times[c, d]$ 上有定义．设积分 $\int_c^d f(x, y) d y$ 对于 $x \in[a, b]$ 有意义，因此是 $x$ 的函数，记为

$$
\varphi(x)=\int_c^d f(x, y) d y
$$

设 $\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，就得到上述二次积分．今后就写为 $\int_a^b d x \int_c^d f(x, y) d y$ ．同样定义先 $x$ 后 $y$ 的二次积分

$$
\int_c^d\left\{\int_a^b f(x, y)\right\} d y=\int_c^d d y \int_a^b f(x, y) d x
$$

例题 0.1 计算 $\left[-1,1 ; 0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上函数 $x \sin y-y e ^x$ 的两个二次积分．

解 先 $x$ 后 $y$ 的二次积分是

$$
\begin{aligned}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} d y \int_{-1}^1\left(x \sin y-y e^x\right) d x & =\left.\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{x^2}{2} \sin y-y e^x\right)\right|_{x=-1} ^{x=1} d y \\
& =\int_0^{\frac{\pi}{2}} y\left(e^{-1}-e\right) d y \\
& =\left.\left(e^{-1}-e\right) \frac{y^2}{2}\right|_0 ^{\frac{\pi}{2}} \\
& =\frac{1}{8}\left(e^{-1}-e\right) \pi^2
\end{aligned}
$$

先 $y$ 后 $x$ 的二次积分是

$$
\begin{aligned}
\int_{-1}^1 d x \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(x \sin y-y e^x\right) d y & =\left.\int_{-1}^1\left(-x \cos y-\frac{y^2}{2} e^x\right)\right|_{y=0} ^{y=\frac{\pi}{2}} d x \\
& =\int_{-1}^1\left(x-\frac{\pi^2}{8} e^x\right) d x \\
& =-\left.\frac{\pi^2}{8} e^x\right|_{-1} ^1 \\
& =\frac{\pi^2}{8}\left(e^{-1}-e\right)
\end{aligned}
$$

注 注意两个二次积分相等不是偶然的．这就是下列定理的内容．
定理 0.3 设 $f$ 在 $A=[a, b ; c, d]$ 上可积，且对于每一个 $x \in[a, b]$ ，存在积分 $\varphi(x)=\int_c^d f(x, y) d y$ ，则 $\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且有

$$
\iint_A f=\int_a^b \varphi(x) d x=\int_a^b d x \int_c^d f(x, y) d y .
$$

（将这个定理的内容与教科书 p． 20 的定理 4 比较，可见非常像．当然我们这里的极限要复杂得多．不能将那里的结论直接用到这里．但可以学习那里的方法．）

证 记积分 $\iint_A f=I$ ，则要证明：对每一个给定的 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得对细度小于 $\delta$ 的每一个分划 $P_x$ ，以及与 $P_x$ 相容的每个介点集 $\xi$ ，成立

$$
\left|\sum_{i=1}^n \varphi\left(\xi_i\right) \Delta x_i-I\right|<\varepsilon
$$

从 $f$ 于 $A$ 上可积的条件知道，对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall P(\|P\|<\delta), \forall\left(\xi_{i j}, \eta_{i j}\right) \in$ $A_{i j} i=1, \cdots, n, j=1, \cdots, m,:$

$$
\left|\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f\left(\xi_{i j}, \eta_{i j}\right) \Delta x_i \Delta y_j-I\right|<\varepsilon .
$$

取 $\xi_{i j}=\xi_i$ 只与 $i$ 有关，取 $\eta_{i j}=\eta_j$ 只与 $j$ 有关，这样就得到

$$
\left|\sum_{i=1}^n \Delta x_i \sum_{j=1}^m f\left(\xi_i, \eta_j\right) \Delta y_j-I\right|<\varepsilon
$$

再令 $\max _j\left|\Delta y_j\right| \rightarrow 0$ ，由于对每个 $x \in[a, b]$ ，积分 $\int_c^d f(x, y) d y=\varphi(x)$ 存在，因此就得到

$$
\left|\sum_{i=1}^n \varphi\left(\xi_i\right) \Delta x_i-I\right| \leqslant \varepsilon
$$

对于 $[a, b]$ 的分划 $P_x=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，若 $\left\|P_x\right\|=\max _i \Delta x_i<\delta, \xi_i \in$ $\left[x_{i-1}, x_i\right] \forall i=1, \cdots, n$ ，则总可以将 $P_x$ 扩张为 $[a, b ; c, d]$ 的一个分划 $P$ ，使得

$$
\|P\|=\max _{i, j} \sqrt{\Delta x_i^2+\Delta y_j^2}<\delta
$$

从上述推导就可以得到（1），这就证明了 $\varphi \in R[a, b]$ ，且 $\int_a^b \varphi=I$ ．

注 教科书上用 Darboux 上和与下和来做，问题是上册的定积分理论中虽然引入了这两个概念，但并没有讨论过它们的极限，因此前后不一致。此外在分划细度趋于 0 的写法上也还有不妥处。

推论 3 设 $f$ 在 $A=[a, b ; c, d]$ 上连续，则

$$
\int_a^b d x \int_c^d f(x, y) d y=\int_c^d d y \int_a^b f(x, y) d x=\int_A f(x, y) d x d y
$$

上述推论提供了计算二重积分的两种方法．但难易程度未必相同．

例题 0.2 设 $A=[0,1] \times[0,1]$ ，求

$$
I=\iint_A \frac{y d x d y}{\left(1+x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}
$$

解 容易看出先 $y$ 后 $x$ 的二次积分要容易计算一些：

$$
\begin{aligned}
I & =\int_0^1 d x \int_0^1 \frac{y d y}{\left(1+x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}} \\
& =\int_0^1\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+2}}\right) d x \\
& =\left.\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right|_0 ^1-\left.\ln \left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\right|_0 ^1 \\
& =\ln \frac{(1+\sqrt{2}) \sqrt{2}}{1+\sqrt{3}} .
\end{aligned}
$$

注 还可能存在这样的情况，即有一个二次积分无法用普通的方法求出，而另一个二次积分却容易求出。因此在上面的例子中我们不去比较另一种方法如何了。

此外，若去掉 $f$ 在闭矩形 $A$ 上为二元连续的条件，则在二重积分与两个二次积分之间就可能出现许多复杂的可能性。在本书原来的版本中有讨论。此外还可以看《微积分学教程》。

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