最后更新: 2025-03-17 09:19 查看: 11 次反馈刷题

有界集上二重积分的定义

一．有界集上二重积分的定义
设 $D \subset R ^2$ 为一有界闭区域，$f$ 于 $D$ 上有定义．问题是如何定义 $f$ 在 $D$ 上的积分？从几何上看，就是以 $D$ 为底的曲顶柱体的体积问题．

这里的基本方法是将问题归之于前面已经解决的闭矩形上的二重积分．
定义在包含 $D$ 的一个闭矩形 $A$ 上的函数

$$
F(x, y)=\left\{\begin{aligned}
f(x, y), & (x, y) \in D, \\
0, & (x, y) \in A-D,
\end{aligned}\right.
$$

然后定义 $f$ 于 $D$ 上可积就是 $F$ 在 $A$ 上可积，且在后者可积时定义

$$
\iint_D f=\iint_A F
$$

![图片](/uploads/2025-02/5337d0.jpg)

为方便起见，称上述 $F$ 为函数 $f$ 的零扩张（这里的扩张就是延拓）．
可以看出以上定义中的可积性以及可积情况时的积分值都不依赖于闭矩形 $A$的选择，只要使得 $D$ 完全在 $A$ 的内部中即可。

下面先讲教科书 p .117 的定理 2 ，其中的内容可以作为在 $D$ 上定义的函数 $f$ 的积分定义 ${ }^{(1)}$ ，并与上述零扩张无关。

定理 0.2 设函数 $f$ 在有界集 $D$ 上可积，$P$ 为 $D$ 的分划，则

$$
\iint_D f=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{\Delta_{i j} \subset D} f\left(P_{i j}\right) \Delta x_i \Delta y_u
$$

其中 $\Delta_{i j}$ 是由分划 $P$ 生成的子矩形，其面积 $\left|\Delta_{i j}\right|=\Delta x_i \Delta y_j$ ，介点 $P_{i j} \in \Delta_{i j}$ ，和式只对于完全落在 $D$ 中的那些 $\Delta_{i j}$ 求和．
 ![图片](/uploads/2025-02/9755df.jpg)

证 取 $A=[a, b] \times[c, d] \supset D$ ，并在 $A$ 上作 $f$ 的零扩张 $F$ ．用分点 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ 和 $c=y_0<y_1<\cdots<y_m=d$ 作分划 $P$ ，得到闭子矩形 $\Delta_{i j}=\left[x_{i-1}, x_i\right] \times\left[y_{j-1}, y_j\right], i=1, \cdots, n ; j=$ $1, \cdots, m$ ．区别出落在 $D$ 内和不是如此的两类子矩形．在图 3 中用粗黑线描出了分别属于这两类的两个子矩形。

$$
\iint_D f=\iint_A F=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n F\left(P_{i j}\right) \Delta x_i \Delta y_j
$$

利用其中介点 $P_{i j}$ 可任取，对于 $\Delta_{i j}-D \neq \varnothing$ 取 $P_{i j} \in \Delta_{i j}-D$ ，于是 $F\left(P_{i j}\right)=0$ ，而当 $\Delta_{i j} \subset D$ 时，总有 $F\left(P_{i j}\right)=f\left(P_{i j}\right)$ ，这样就得到定理所要的结论．

定理 2 以可积性为条件，因此没有涉及到一般有界区域上函数的可积性问题。
从以下的分析可以知道这时的可积性与积分区域和其中定义的被积函数两者都有关系。

当然也有例外情况．这就是在积分区域 $D$ 上被积函数 $f(x) \equiv 0$ 的情况．这时从零扩张可见在包含 $D$ 的矩形 $A$ 上扩张得到的函数 $F$ 也恒等于 0 ，因此可积，且积分值为 0 。从而推出 $f$ 在 $D$ 上可积，积分值为 0 。这表明，在有界的定义域上恒等于 0 的函数总是可积的．

然而一般来说，积分区域将起重要作用．其中一个重要问题就是：若 $f$ 在 $D$ 上处处连续，或者几乎处处连续，则 $f$ 是否在 $D$ 上可积？

分析一个简单例子即可知道这与积分区域有什么联系。设 $f$ 在有界闭区域 $D$上恒等于 1 ，则对于包含 $D$ 在其内部的闭矩形 $A$ ，就有

$$
F(x, y)= \begin{cases}1, & (x, y) \in D \\ 0, & (x, y) \in A-D\end{cases}
$$

这时边界 $\partial D$ 的每一个点都可能是 $F$ 的间断点．对于一般的函数 $f$ ，情况也是如此．
利用上一小节的 Lebesgue 定理就得到下列结论。
定理 0.1 设函数 $f$ 的定义域 $D$ 是边界 $\partial D$ 为零集的有界闭区域，则 $f$ 为 Riemann 可积的充分必要条件是它在 $D$ 上几乎处处连续且有界。

证 取矩形 $A \supset D$ ，将 $f$ 零延拓到 $A$ 上得到 $F$ ．则 $F$ 在 $A$ 上的不连续点集不会越出 $f$ 在 $D$ 中的不连续点集和 $\partial D$ 之并。由于这两个集都是零测度集，因此 $F$在 $D$ 上几乎处处连续，

推论 设有界函数 $f$ 的定义域 $D$ 是边界 $\partial D$ 为零集的有界闭区域，若 $f$ 在 $D$中除了有限条曲线外处处连续，且这些曲线都是零集，则 $f$ 在 $D$ 上 Riemann 可积．

注 1 由于任何集合的边界为闭集，因此有界闭区域的边界一定是有界闭集，从而上述定理中的 $\partial D$ 既是零测度集，也是零容度集，简称为零集。

注 2 在某些教科书中不加证明地列出下列定理：在有界闭区域上的连续函数可积．实际上这是错误的．因为可以构造出边界不是零测度集的有界闭区域 $D^{(1)}$ ，

> 从《分析中的反例》第十一章第 4 题知道存在以单闭曲线为边界的 Jordan 区域，而其边界不是零集．

这时在 $D$ 上恒等于 1 的连续函数就不是 Riemann 可积了．还有许多教科书在重积分一开始就声明只考虑边界为零集的有界闭区域，避免了这里的困难．

根据可积的定义，有
$$
\iint_D f=\iint_A F=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n F\left(P_{i j}\right) \Delta x_i \Delta y_j .
$$

定理 2 以可积性为条件，因此没有涉及到一般有界区域上函数的可积性问题．
从以下的分析可以知道这时的可积性与积分区域和其中定义的被积函数两者都有关系。

当然也有例外情况．这就是在积分区域 $D$ 上被积函数 $f(x) \equiv 0$ 的情况．这时从零扩张可见在包含 $D$ 的矩形 $A$ 上扩张得到的函数 $F$ 也恒等于 0 ，因此可积，且积分值为 0 ．从而推出 $f$ 在 $D$ 上可积，积分值为 0 ．这表明，在有界的定义域上恒等于 0 的函数总是可积的．

然而一般来说，积分区域将起重要作用．其中一个重要问题就是：若 $f$ 在 $D$ 上处处连续，或者几乎处处连续，则 $f$ 是否在 $D$ 上可积？

分析一个简单例子即可知道这与积分区域有什么联系。设 $f$ 在有界闭区域 $D$上恒等于 1 ，则对于包含 $D$ 在其内部的闭矩形 $A$ ，就有

$$
F(x, y)= \begin{cases}1, & (x, y) \in D \\ 0, & (x, y) \in A-D\end{cases}
$$

证 取矩形 $A \supset D$ ，将 $f$ 零延拓到 $A$ 上得到 $F$ ．则 $F$ 在 $A$ 上的不连续点集不会越出 $f$ 在 $D$ 中的不连续点集和 $\partial D$ 之并．由于这两个集都是零测度集，因此 $F$在 $D$ 上几乎处处连续，

注 1 由于任何集合的边界为闭集，因此有界闭区域的边界一定是有界闭集，从而上述定理中的 $\partial D$ 既是零测度集，也是零容度集，简称为零集．

注 2 在某些教科书中不加证明地列出下列定理：在有界闭区域上的连续函数可积．实际上这是错误的．因为可以构造出边界不是零测度集的有界闭区域 $D^{(1)}$ ，
这时在 $D$ 上恒等于 1 的连续函数就不是 Riemann 可积了．还有许多教科书在重积分一开始就声明只考虑边界为零集的有界闭区域，避免了这里的困难。

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