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二重积分极坐标计算例题

## 二重积分极坐标计算例题

在前面，介绍了变量替换，变量替换的本质可以认为是坐标系的改变，如下图示意图

![图片](/uploads/2025-10/7e3896.jpg){width=500px}
 
在变量替换里，我们得到了极坐标下变量替换公式

$$
\boxed{
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Delta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta .
}
$$

> 通俗的说，在直角坐标系下的面积微元 $dxdy$ 当切换到极坐标下时，极坐标的面积委员是 $ r dr d\theta$

`例`求双曲线 $x y=p, x y=q$ 与直线 $y=a x, y=b x$ 在第一象限所围图形（见图 3．3．4）的面积，其中 $q>p>0, b>a>0$ ．

![图片](/uploads/2025-10/e35cc2.jpg){width=500px}
 
 
 
 解 在变换 $x y=u, \frac{y}{x}=v$ 下，区域 $D$ 被一一对应地映为

$$
D_1=\{(u, v) \mid p \leqslant u \leqslant q, a \leqslant v \leqslant b\},
$$

这时有 $x=\sqrt{\frac{u}{v}}, y=\sqrt{u v}$ ，于是

$$
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{cc}
\frac{1}{2 \sqrt{u v}} & -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{u}{v^3}} \\
\frac{1}{2} \sqrt{\frac{v}{u}} & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{u}{v}}
\end{array}\right|=\frac{1}{2 v} .
$$

因此，所求面积为

$$
\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_1}\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v=\iint_{D_1} \frac{1}{2 v} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \int_p^q \mathrm{~d} u \int_a^b \frac{1}{v} \mathrm{~d} v=\frac{1}{2}(q-p) \ln \frac{b}{a} .
$$

极坐标变换

$$
x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant r<+\infty
$$

是我们十分熟悉的．除原点与正实轴外，它是一一对应的，这时

$$
\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}=\left|\begin{array}{cc}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{array}\right|=r .
$$

`例` 计算 $\iint_D \sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ．
解 引人极坐标变换 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，那么 $D$ 对应于区域 $D_1=\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant 1,0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\}$ ．因此

$$
\begin{aligned}
& \iint_D \sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_1}(\sin \pi r)\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right| \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta \\
= & \iint_{D_1}(\sin \pi r) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta=\int_0^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_0^1(\sin \pi r) r \mathrm{~d} r=2
\end{aligned}
$$

`例` 求抛物面 $x^2+y^2=a z$ 和锥面 $z=2 a- \sqrt{x^2+y^2}(a>0)$ 所围成立体（见图 13．3．6）的体积．

![图片](/uploads/2025-10/0441be.jpg){WIDTH=200PX}
 
 解 易求得两曲面的交线在 $x y$ 平面的投影的
 
方程为 $x^2+y^2=a^2$ ．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant a^2\right\}$ ，于是利用极坐标变换得到所求立体的体积为

$$
\begin{aligned}
& \iint_D\left[2 a-\sqrt{x^2+y^2}-\left(\frac{x^2+y^2}{a}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\substack{0 \leqslant r \leqslant a \\
0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi}}\left(2 a-r-\frac{r^2}{a}\right) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \\
= & \int_0^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_0^a\left(2 a-r-\frac{r^2}{a}\right) r \mathrm{~d} r=2 \pi \int_0^a\left(2 a-r-\frac{r^2}{a}\right) r \mathrm{~d} r=\frac{5}{6} \pi a^3 .
\end{aligned}
$$

`例` 计算 $I=\iint_D \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 为圆域 $x^2+y^2 \leqslant R^2$ ．

解 利用极坐标变换，由公式 ，有

$$
I=\int_0^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_0^R r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{~d} r=\pi\left(1-\mathrm{e}^{-R^2}\right) .
$$

由本例可见，若不用极坐标变换计算，而用直角坐标系下化为累次积分计算，就会遇到计算 $\int e^{-y^2} d y$ 的问题，但我们不能把 $\int e^{-y^2} d y$ 表示成初等函数。

与极坐标相类似，我们也可以作下面的广义极坐标变换：

$$
T:\left\{\begin{array}{l}
x=a r \cos \theta, \\
y=b r \sin \theta,
\end{array} \quad 0 \leqslant r<+\infty, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\right.
$$

并计算得

$$
J(r, \theta)=\left|\begin{array}{rr}
a \cos \theta & -a r \sin \theta \\
b \sin \theta & b r \cos \theta
\end{array}\right|=a b r
$$

对广义极坐标变换也有与上节定理 相应的定理，这里不再赘述了．

`例` 求曲线 $\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)^2=\frac{x y}{c^2}(a, b, c>0)$ 所围图形（见图 13．3．7）的面积．
解 由曲线的方程 $\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)^2=\frac{x y}{c^2}$ 可以看出，该曲线在第一、三象限上，且关于原点对称．因此只需计算该曲线所围图形在第一象限的部分的面积，再乘以 2 就是整个图形的面积．设该图形在第一象限的部分为 $D$ ．这个方程中有 $\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}$ 项，因此引人广义极坐标

![图片](/uploads/2025-10/6dbe6f.jpg){WIDTH=250PX}
 
 $$
x=a r \cos \theta, \quad y=b r \sin \theta .
$$

这个变换的 Jacobi 行列式为

$$
\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}=\left|\begin{array}{cc}
a \cos \theta & -a r \sin \theta \\
b \sin \theta & b r \cos \theta
\end{array}\right|=a b r .
$$

在 $r \theta$ 平面上这条曲线的像的方程是

$$
r^2=\frac{a b}{c^2} \sin \theta \cos \theta \text {, }
$$

且 $D$ 所对应的区域为

$$
D_1=\left\{(r, \theta) \left\lvert\, 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right., 0 \leqslant r \leqslant \sqrt{\frac{a b}{c^2} \sin \theta \cos \theta}\right\}
$$

因此所求的面积为

$$
2 \iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_1} a b r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\sqrt{\frac{a b}{2} \sin \theta \cos \theta}} a b r \mathrm{~d} r=\frac{a^2 b^2}{c^2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos \theta \mathrm{~d} \theta=\frac{a^2 b^2}{2 c^2} .
$$

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