最后更新: 2025-10-23 10:20 查看: 78 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

三重积分

##  三重积分的概念
类似于第一型曲线积分，求一个空间立体 $V$ 的质量 $M$ 就可导出三重积分．设密度函数为 $f(x, y, z)$ ，为了求 $V$ 的质量，我们把 $V$ 分割成 $n$ 个小块 $V_1, V_2, \cdots, V_n$ ，在每个小块 $V_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ ，则

$$
M=\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta V_i,
$$

其中 $\Delta V_i$ 为小块 $V_i$ 的体积，$\|T\|=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{V_i\right.$ 的直径 $\}$ ．
设 $f(x, y, z)$ 是定义在三维空间可求体积的有界闭区域 $V$ 上的有界函数．现用若干光滑曲面所组成的曲面网 $T$ 来分割 $V$ ，它把 $V$ 分成 $n$ 个小区域 $V_1, V_2, \cdots, V_n$ 。记 $V_i$ 的体积为 $\Delta V_i(i=1,2, \cdots, n),\|T\|=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{V_i\right.$ 的直径 $\}$ ．在每个 $V_i$ 中任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ ，作积分和

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta V_i .
$$

**定义1** 设 $f(x, y, z)$ 为定义在三维空间可求体积的有界闭区域 $V$ 上的函数，$J$ 是一个确定的数．若对任给的正数 $\varepsilon$ ，总存在某一正数 $\delta$ ，使得对于 $V$ 的任何分割 $T$ ，只要 $\|T\|<\delta$ ，属于分割 $T$ 的所有积分和都有

$$
\left|\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta V_i-J\right|<\varepsilon,
$$

则称 $f(x, y, z)$ 在 $V$ 上可积，数 $J$ 称为函数 $f(x, y, z)$ 在 $V$ 上的三重积分，记作

$$
J=\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d} V \text { 或 } J=\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \text {, }
$$

其中 $f(x, y, z)$ 称为被积函数，$x, y, z$ 称为积分变量，$V$ 称为积分区域．
当 $f(x, y, z) \equiv 1$ 时， $\iiint_V \mathrm{~d} V$ 在几何上表示 $V$ 的体积．
三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性质（参见§1），这里不一一细述了。例如，类似于二重积分，有
（i）有界闭区域 $V$ 上的连续函数必可积；
（ii）如果有界闭区域 $V$ 上的有界函数 $f(x, y, z)$ 的间断点集中在有限多个零体积 （可类似于零面积那样来定义）的曲面上，则 $f(x, y, z)$ 在 $V$ 上必可积．

## 化三重积分为累次积分
**定理 21.15** 若函数 $f(x, y, z)$ 在长方体 $V=[a, b] \times[c, d] \times[e, h]$ 上的三重积分存在，且对任意 $(x, y) \in D=[a, b] \times[c, d], g(x, y)=\int_e^h f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 存在，则积分 $\iint_D g(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$也存在，且

$$
\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_e^h f(x, y, z) \mathrm{d} z .
$$

证 用平行于坐标平面的平面作分割 $T$ ，它把 $V$ 分成有限多个小长方体

$$
V_{i j k}=\left[x_{i-1}, x_i\right] \times\left[y_{j-1}, y_j\right] \times\left[z_{k-1}, z_k\right] .
$$

设 $M_{i j k}, m_{i j k}$ 分别是 $f(x, y, z)$ 在 $V_{i j k}$ 上的上确界和下确界。对任意

$$
\begin{gathered}
\left(\xi_i, \eta_j\right) \in\left[x_{i-1}, x_i\right] \times\left[y_{j-1}, y_j\right] \\
m_{i j k} \Delta z_k \leqslant \int_{z_{k-1}}^{z_k} f\left(\xi_i, \eta_j, z\right) \mathrm{d} z \leqslant M_{i j k} \Delta z_k
\end{gathered}
$$

现按下标 $k$ 相加，有

$$
\sum_k \int_{z_{k-1}}^{z_k} f\left(\xi_i, \eta_j, z\right) \mathrm{d} z=\int_e^h f\left(\xi_i, \eta_j, z\right) \mathrm{d} z=g\left(\xi_i, \eta_j\right)
$$

以及

$$
\sum_{i, j, k} m_{i j k} \Delta x_i \Delta y_j \Delta z_k \leqslant \sum_{i, j} g\left(\xi_i, \eta_j\right) \Delta x_i \Delta y_j \leqslant \sum_{i, j, k} M_{i j k} \Delta x_i \Delta y_j \Delta z_k . ...(2)
$$

上述不等式两边是分割 $T$ 的下和与上和．由 $f(x, y, z)$ 在 $V$ 上可积，当 $\|T\| \rightarrow 0$ 时，下和与上和具有相同的极限，所以由（2）式得 $g(x, y)$ 关于 $D$ 对应 $T$ 的直线网格分割的下和与上和具有相同的极限．由定理 21.4 有 $g(x, y)$ 在 $D$ 上可积，且

$$
\iint_D g(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z .
$$

**推论** 若 $V=\left\{(x, y, z) \mid(x, y) \in D, z_1(x, y) \leqslant z \leqslant z_2(x, y)\right\} \subset[a, b] \times[c, d] \times[e$, $h]$ ，其中 $D$ 为 $V$ 在 $O x y$ 平面上的投影，$z_1(x, y), z_2(x, y)$ 是 $D$ 上的连续函数，函数 $f(x, y, z)$ 在 $V$ 上的三重积分存在，且对任意 $(x, y) \in D$ ，

$$
G(x, y)=\int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z
$$

亦存在，则积分 $\iint_D G(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 存在，且
$$
\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_D G(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z .
$$

（见图 21－31）．

![图片](/uploads/2025-10/7ff9e5.jpg){WIDTH=250PX}
 
 
证 定义 $F(x, y, z)=\left\{\begin{array}{ll}f(x, y, z), & (x, y, z) \in V, \\ 0, & (x, y, z) \in V_0 \backslash V,\end{array}\right.$ 其中 $V_0=[a, b] \times[c, d] \times[e$, $h]$ ，对 $F(x, y, z)$ 用定理 21．15，则有

$$
\begin{aligned}
\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =\iiint_{V_0} F(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\iint_{[a, b] \times[c, d]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \int_e^h F(x, y, z) \mathrm{d} z \\
& =\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z
\end{aligned}
$$

`例` 计算 $\iiint_V \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{x^2+y^2}$ ，其中 $V$ 为由平面 $x=1, x=2, z=0, y=x$ 与 $z=y$ 所围区域（见图21－32）

![图片](/uploads/2025-10/7990b6.jpg){WIDTH=250PX}

解 设 $V$ 在 $x y$ 平面上投影为 $D$ ，则 $V=\left\{(x, y, z) \mid z_1(x, y) \leqslant z \leqslant z_2(x, y)\right.$ ， $(x, y) \in D\}$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant x, 1 \leqslant x \leqslant 2\}$ 是 $x$ 型区域，$z_1(x, y)=0, z_2(x, y)=y$ ．于是

$$
\begin{aligned}
\iiint_V \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{x^2+y^2} & =\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_0^y \frac{\mathrm{~d} z}{x^2+y^2} \\
& =\iint_D \frac{y}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{y \mathrm{~d} y}{x^2+y^2} \\
& =\left.\int_1^2 \frac{1}{2} \ln \left(x^2+y^2\right)\right|_0 ^x \mathrm{~d} x=\int_1^2 \frac{1}{2} \ln 2 \mathrm{~d} x \\
& =\frac{1}{2} \ln 2
\end{aligned}
$$

`例` 计算 $\iiint_V\left(x^2+y^2+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 是由 $\left\{\begin{array}{l}z=y, \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与 $z=1$ 所围的区域．

解 旋转面方程为 $z=\sqrt{x^2+y^2}, V$ 在 $x y$ 平面上投影为 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ， $z_1(x, y

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